Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
р'-П+рП, О = е"Х (10.12)
Здесь 1г есть оператор орбитального момента. Он действует на функции
пространственных переменных. Матрицы "I и р от пространственных
переменных не зависят, а потому преобразовываться оператором U не будут.
Из требования инвариантности уравнения (10.11) следуют
201
соотношения
= рах cos ср + ра2 sin q>, е1^<р ра2е_1'^ф = - Pcti sin ф + P"a cos ф,
ег?(рразе-1?ф= pc?3.
Используя явный вид матриц
P"i =
-Oi О
Р"2 =
О о.г ]
-°а 0 I
Р"з:
0. а3 -о3 О
найдем явный вид оператора L-
L = -lr±" 2г =
о3 О О о.
Очевидно, операторы I, и 2г действуют в разных пространствах, а потому
коммутируют. Поэтому унитарный оператор, . осуществляющий преобразование
поворота системы координат вокруг произвольной оси <р, можно представить
в виде
0=е-1'(г+^)ф.
Непосредственным вычислением можно убедиться, что оператор 2 коммутирует
с р. Поэтому
и+(ря)и = ря = р(1/+яу).
Следовательно, в случае свободного движения ^величина I + 2/2 есть
интеграл движения. Оператор
j=1+8=1+т±
(10.13)
есть оператор полного момента частицы, a s = 2/2 есть оператор спина.
Рассмотрим проекцию спинового момента на направление импульса свободной
частицы
sp
1
2р
h.
ар 0
0 ср
Гамильтониан уравнения Дирака, выраженный через субматрицы, имеет вид
Н
0 ар
ар 0
+ тс-
202
±Йёпользуя формулу
(сгА)(огВ) = АВ + ш[АхВ], (10.14)
{непосредственным вычислением - легко убедиться, что опе-'> ратор h
коммутирует с гамильтонианом. Для свободной частицы величина проекции
спина на направление им-.-¦фупульса, называемая спнральностью,
сохраняется. Из явного ?:. :вида матрицы 2 ясно, что проекция спина может
прини-^"Гмать лишь значения ±1/2 (в единицах К). Таким обра-уё'збм,
уравнение Дирака описывает частицы со спином 1/2. 3gi Замечательно, что
для установления этого не требуются ; ^'никакие дополнительные
предположения, кроме выдвину-• 5%лых в п. 10.1. \
-V-
А у 4. Найдем стационарное решение уравнения Дирака :± для свободной
частицы в состоянии с заданными значе-• ниямн компонент импульса'.
Полагая
У / . Et
'?-/ - Ф(г. /) = Ф (Г) е '
'/Я. .получим
?ф(г) = #ф (Г).
: Д Выразим четырехкомпонентную функцию ф через две двух-компонентные
функции: . .
5С =
• Ъ ¦
v |ф,
¦0 Ч- ' 1
±/Используя стандартное представление матриц ak, |3, полу-ДД чим систему
8ф = С0Грх4-ШСаф,
- е% - сарц> - тс\.
"^¦.Волновые функции состояния с определенным импульсом -
'Щ''удовлетворяют уравнениям
Ж- 16)
'хД ; • сорф - {тс2 + е) X = о.
.' У; Условие совместности этой системы линейных уравнений состоит в
равенстве нулю ее определителя. Учитывая . .^операторное тождество
(10.14), получаем
¦jfv. in2cl - е2 4- сгр2 = 0,
Двум знакам в этом выражении соответствуют два типа решений уравнения
Днрака. Таким образом, задания компонент оператора импульса в общем
случае недостаточно для описания движения свободной релятивистской
частицы: нужно указать еще значение параметра К. Решения с Я= + 1 будем
называть положительными.
Одна из двухкомпонентных функций может быть выражена через другую:
(10Л6>
Таким образом, из четырех компонент функции ф, соответствующей заданному
р, только две могут быть заданы независимо, а остальные две определяются
при выбранном Я из формулы (10.16). Пусть
Ф =
. рг . рг
I - I 1-
е п =ае п
где а есть спиновая функция, не зависящая от координат. Тогда
а
Пг)= -Д_0ра
тс2+е
ip;'r
у h
В нерелятивистской системе отсчета е = Я(тс2 + Д), где Е тс2. Поэтому для
положительных решений (при е>0)
а для отрицательных (при е<0)
v cap 2 тс ^
X = -~- н)^- ------------------ф > ф.
тс2-в * р -г ^ 't-
таким образом, в нерелятивнстском предельном случае две из четырех
компонент ф оказываются малыми по сравнению с двумя другими.
5. Уравнение Дирака часто бывает удобно представить в другой форме.
Положим x^ = (ct, г) (р = 0, 1, 2, 3). Выберем метрический тензор в виде
§ЦД! = ^|LV ( ¦ 1 4" 26|хо).
Введем оператор 4-импульса
пВ = ifi -
Р 11 •
204
Тогда уравнение (10.11) можно переписать в форме
(Т"Р,. - тс) ф = 0, (10.17)
где матрицы у" определяются равенствами Т°==|3, yfr = |3aA, k = 1,2,3.
Матрицы у'1 удовлетворяют соотношению.
уу -}- уvy = '2gtiv. (10.18)
Индексы матриц у11 поднимаются и опускаются по правилу
y|l = g|,vTi"
6. Рассмотрим уравнение Дирака для движения заряженной частицы
со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле, которое
описывается 4-потенциалом /1,, =
= (Ф, А). Классическая функция Лагранжа имеет вид
<5? = - тс2 У1 - у + I Av-еФ.
Компоненты обобщенного импульса соответственно равны
Po = Pl + eФ, Р = - Р^ + у А,
где суть компоненты 4-импульса свободной частицы. Обобщив правило главы 2
на релятивистский случай, мы заменим в уравнении Дирака оператор p|t на
выражение для него, содержащее обобщенный импульс. Итак, уравнение Дирака
для частицы во внешнем электромагнитном поле имеет вид
[?'' (рн -у - mcjф = 0. (10.19)
Рассмотрим уравнение Дирака в электромагнитном поле в нерелятивистском
предельном случае. Четырехкомпонентную функцию ф удобно выразить через
