Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
быть смещен к действительной оси, а интеграл (11.10) вычислен методом
перевала. В поле с потенциалом вида, изображенного на рис. 38, отсутствие
связанных состояний очевидно. Возможно Рис. 39. наличие
особенностей 5 (k), связан-
ных с квазистацпонарными состояниями. Пусть существует одно
квазистацнонарное состояние
k0 = q + lx-
218
Тогда элемент S-матрицы имеет вид
S(k) = M(k)
(k-k*) (fc-f fcn)
(k - k0) (k + k*) '
где M(k) - функция без особенностей. В плоскости комплексного переменного
у
S (у) = М (у)
.+1 >+i / 'т ~+'о)
.+1 (W ["+i / 'Т 'd-+4
Рассмотрим полюсы S (у). Они определяются равенствами
Pi- У
V'
¦ q + ix =0,
Р^'- y~h^/~12 (у <7 + Ixj = 0-
Изменение их положения со временем показано на рис. 39. Пусть q>K. Тогда
при z<ir(q - х) 1 полюс Pj лежит ниже действительной оси. Контур
интегрирования может быть смещен на действительную ось. Вычисление
интеграла (11.10) методом перевала дает
ф (г, I) = гр0 (г, 0 В \fn [а+ (0) S (0) - а- (0)].
При z^>r(q - х) 1 нужно учитывать вклад от полюса Рг в первом квадранте.
Тогда
1]) (г, /) ^ ф0 (г, t) - 2лiBa (ik0) ё~у'< Res S (Рt).
Второй (полюсный) член в этой формуле можно переписать в виде
%> (г, t) ;=" У 2л a (ik0) М (k0) v.eiqr vyre ' (?° 1 Oft.
Здесь использованы введенные в главе 9 обозначения резонансной энергии и
ширины уровня:
?о = (<72- *2)
№
2т'
2 qx
/г-
Такнм образом, при наличии у системы квазнстацио-нарного состояния в
расплывании волнового пакета можно выделить две стадии. Первая -
иерезопансное расплывание, которое описывается членом ф"(г, /). Оно
связано с наличием в разложении начальной волновой функции компо-
219
нент с большими k и наиболее существенно при малых временах. Вторая -
распад квазистацнонарного состояния, который описывается членом tyP(r,
t). В общем случае этот член не мал по сравнению с г];0 (г, t). Функцию
фР (г, I) можно интерпретировать как ВФ состояния с комплексной энергией
Е = Е0~- i~,
убывающую со временем по экспоненциальному закону. Отметим, что ВФ
квазистацнонарного состояния возрастает при больших г. Поэтому
приготовленный волновой пакет не будет совпадать с ВФ квазистацнонарного
состояния и распад не будет в точности следовать экспоненциальному
закону.
4. Рассмотри в качестве примера потенциал сфериче-скрй оболочки
u(r) - qb(r - а).
Рассмотрим s-случай. Особенности S-матрицы будут определяться, согласно
(9.76), уравнением
СО
1 + i g ^ Н\% (kr) и (г) (ро (kr) г dr =- {). (11.11)
о
Для вычисления корней этого уравнения нам даже не надо определять
регулярное решение УШ при всех г. Очевидно, что при г*С_а оно совпадает с
J|/2(kr). Используя равенства
Н\'М (z) = - i ]/я2г J 1/а (z) = jAj sin z,
перепишем уравнение (11.11) в виде
l + i^-i~xe^ = 0. (11.12)
Здесь введены обозначения: т - ka, 6 - qa. Полагая 2т = - x-\-iy и
приравнивая нулю действительную и мнимую части (11.12), находим
уВ ~ Be ycosx~0, х + Ве~у sirr* = 0.
Этой системе удобно придать вид .
еу = - В^, cosx = ^l 4~§-)е".
220
^Очевидно, что второе из этих уравнений определяет дей-: ствительную
кривую только при у < 0. Полюсы S (k) вне .--мнимой оси лежат в нижней
полуплоскости комплексного k в согласии с общим результатом. Графическое
решение, определяющее положение полюсов, показано на рис" 40.
Bn Rьк
Рис. 40.
Отметим следующие свойства полученного решения. По мере уменьшения
прозрачности барьера (с ростом 6) ' йствительные части полюсных значений
qn стремятся к шш1, а резонансные уровни энергии -к значениям бвней
энергии в сферической яме большой глубины. УчМнимые части v.n полюсных
значений сильно зависят от п. Щ пределе при 6->-оо
'J- Выражение для ширины уровней квазистационарных со-стояний можно
представить в виде
IP
Гг
Г п - 2v,nqn D (Еп) р
(11.13)
ie D (Е") есть коэффициент прохождения через барьер ' (л:) для частицы с
энергией Еп (см. задачу 3.5). Соотношение (11.13) сохраняется и в общем
случае, " у-если только область внутри барьера достаточно широка:
-У> h (рп)"'<"-
Ф самом деле, решение с асимптотикой etkr можно рас-
.^сматривать как стационарную ВФ системы с источником Л-участиц единичной
мощности в начале координат. Пусть
221
при t - 0 источник выключен. Запишем уравнение непрерывности
R
d
dt
о
^ | Яр (/-, t)\2dr = j(R, t), (11.14)
где R - точка, лежащая вне барьера. Учитывая, что при наличии
квазистацнонарного состояния изменение j (г, t) происходит медленно,
можно положить
/=^еХр(- Г/
Плотность вероятности w (г) = | ф (г) |2 внутри барьера существенно
больше, чем вне его. Поэтому, используя определение коэффициента
прохождения D (Ё), можно записать
$"Иг) dr^^y о
Учитывая уравнение непрерывности, получаем
а Г^р D (?') ft ^ in'
откуда следует оценка (11.13). Используем формулу (11.13) для оценки
скорости радиоактивного сс-распада ядер. Потенциал взаимодействия "-
частицы ^ н ядра складывается из сильного короткодействующего притяжения
при г < г" и кулоновского отталкивания (Z - заряд ядра до распада)
