Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Елютин П.В. -> "Квантовая механика (с задачами) " -> 52

Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.

Елютин П.В. Квантовая механика (с задачами) — Наука, 1976. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehanika1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 85 >> Следующая

р- _ a'-z> (3 1 1 \ а2^4 /3 1 \
1+2 ~ 2п3 \4И /+1 2(/ + 1) (/ + 1/2)/ 2я3 \4n / + I/2J
Таким образом, суммарную поправку при / + 0 можно представить в виде
е"--э?(гп*-*)- (10'3|>
Формулы (10.29) показывают, что это выражение справедливо и при 1 = 0.
Отметим, что выражение (10.31), определяющее тонкую структуру атома
водорода, впервые было получено Зоммерфельдом на основе старой квантовой
теории.
Релятивистские поправки приводят к частичному снятию вырождения по /.
Кроме главного квантового числа п, энергия уровней зависит и от значения
полного момента /. Однако уровень с заданными п и / остается двукратно
вырожденным. Число / может принимать значения / ± 1/2. Этот результат не
является следствием приближенного характера вычислений и сохраняется для
точного решения. Такре вырождение указывает на существование
дополнительного интеграла движения, не коммутирующего с оператором
полного момента.
210
гл.;
При учете спина электрона состояние частицы в цент-Ёг.ральпом поле
задается тройкой чисел п, /. Значение / Т.принято указывать в виде
правого нижнего индекса при нерелятивистском обозначении.
Отметим, что вычисление поправок высших порядков й^или рассмотрение
точного решения в случае Za 1 не |?.представляют особого интереса по
следующей причине. л:, В классической электродинамике система заряженных
частиц может быть описана с помощью функции Лагранжа, зави-сящей от
координат и скоростей частиц, лишь с точно-i'cTbio до членов порядка
(v/c)2. В следующем порядке (v/c)3)
^ 'необходимо учитывать излучение. Вычисление поправок второго порядка по
операторам Кг приведет лишь к вели-• чинам порядка (v/c)*.
В главе 5 рассмотрение задачи двух тел привело нас Лз^йри вычислении
спектра атома водорода к задаче о дви-жении частицы с приведенной массой
в поле кулоновского центра. В этой главе мы использовали в. качестве
исход-^ного пункта релятивистское уравнение для движения заряда в
кулоновском поле ядра. Такое приближение р.для задачи двух тел оправдано
лишь постольку, посколь-р.ку можно пренебречь движением ядра. Уравнение
для за-ф Дачи о движении двух заряженных частиц со спином 1/2 ЩрУбыло
получено Брейтом. Как следует из изложенного, jj§y3fo уравнение
справедливо лишь с точностью до чле-Щйов (v/c)2.
ЗАДАЧИ
1. Найти унитарный оператор, осуществляющий преобразование - Лоренца.
2. Доказать, что из уравнения Дирака для частицы в эяектро-магнитном поле
следует уравнение
[(ря-i- Ам) (р"- ¦ Л.) + go ^=0.
ом v = ^ (Y**YV-YVY!1) - - °V|X"
a ^ixv есть тензор электромагнитного поля.
Найти собственные значения оператора скорости релятивистической частицы
со спином 1/2. Этот оператор определяется соотношением
т.'
щ=- и J.
Ч-- п
211
4, Вычислить производную по времени от оператора
Результат сравнить с классическим уравнением движения.,
.5. Доказать соотношения
d Г ,ih й 1 Рр Ж+ШсН т'
dt [ 2/ис2 J тс3
6. Доказать, что релятивистский аналог оператора Рунге-Ленца
й-у (if+i) у °v5(? -"*?>).
где
Y5 - - ^ y° v1 V2 Vs"
коммутирует с гамильтонианом уравнения Дирака для частицы в кулоновском
иоле.
Глава 11
ПЕРЕХОДЫ
0. В предыдущих главах мы рассматривали только стационарные состояния
систем. Они описывались СФ не зависящих от времени гамильтонианов.
Средние значения наблюдаемых в таких состояниях не зависят от времени.
Вне нашего рассмотрения остались два круга задач. Во-первых, система
может описываться гамильтонианом Я, не зависящим от времени, но состояние
системы в некоторый момент t~ 0 может не быть СФ Я. Возникает вопрос об
изменении со 'временем средних значений наблюдаемых.
Во-вторых, гамильтониан Я может зависеть от времени явно. Если система
взаимодействует с источником внешнего переменного поля, а влияние системы
на источник пренебрежимо мало, то гамильтониан можно представить в виде
Я = Я0 + 0(0. (11.1)
Такая система по определению не имеет стационарных состояний. Если при t
->-'± оо внешнее поле V (t) обра-• Щается в нуль, то для описания системы
удобно использовать полную систему СФ Я0. Тогда ВФ системы может быть
представлена в виде
'ИО = .? (*) Ч'пе"°п<" (11 -2)
П
где введено обозначение
ю" = %гЕп,
которое мы будем постоянно использовать в дальнейшем. Пусть начальное (t-
^ - oo) состояние системы описывается одной из СФ Н0'
$_= lim = <Р".
t -"-со 1
213
В общем случае при t -> Jr со ВФ системы ф+ = Нш ф (*) = V апт<рт
< -+ оо т
не совпадает с ВФ начального состояния. Под действием внешнего поля
система совершает переходы в другие стационарные состояния. Вероятность
наблюдения системы при / -> со в состоянии фт -вероятность перехода из
состояния | п) в состояние | т) - определяется величиной
~ ! О-тп |2-
Индекс п относится к начальному, а т к конечному состояниям.
1. Пусть при t<i 0 гамильтониан частицы
&-=й+°-м
обладает дискретным спектром и частица находится в стационарном состоянии
ф" (х) с энергией Е". Пусть при / = О поле мгновенно изменяется:
Состояние ф" (,v) не есть, конечно, собственное состояние tL. Вероятности
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed