Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Елютин П.В. -> "Квантовая механика (с задачами) " -> 56

Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.

Елютин П.В. Квантовая механика (с задачами) — Наука, 1976. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehanika1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 85 >> Следующая

¦t- . +СО
a;01 = sin2^p ^ f(t)dt~ sin2Q
- СО
- зависит от единственного параметра Q. При значениях
Ф = 2П = (2н+1)я
-'-¦система с достоверностью переводится в другое состояние. ' Такой
импульс внешнего поля называется я-импульсом. При
Ф = 2rat
система с достоверностью остается в начальном состоянии.
Рассмотрим слуПай отличной от нуля расстройки при :f(t) = const
(прямоугольный импульс). Решение уравнения ¦(11.28) имеет в этом случае
вид
b (() = ,
"'где
г' Qi = - у + П, q.2 - -g-J-Q,
. Пусть при t == 0. система находится в состоянии |0) (Ь (0) = 0).
Соответствующее решение имеет вид
b(t)~ - i -^Sr- exp Г - i - sin пЛ.
йй у 2 J
Зависящая от времени вероятность перехода есть
|УЯ|а
При наличии расстройки двухуровневая система не может быть с
достоверностью переведена в состояние 11). Максимальное значение
вероятности
- Г , , [ЬП\Ц-1/2
(r)"L +WJ
при заданной расстройке тем ближе к единице, чем больше | V0i |-
7. Выше мы рассматривали переходы между состояниями дискретного
спектра под действием когерентного внешнего поля
V {t) = V -f (t) еш.
Рассмотрим в рамках теории возмущений переходы между парой уровней под
действием импульса резонансного внешнего поля ((о = со10), амплитуда
которого / (/) обращается в нуль при t>T, * <0, а в интервале 0 <t<gT
представляет случайный стационарный гауссов процесс с равным нулю средним
</(Ф = 0
и заданной функцией корреляции
B(x) = (f(t)f(t + x)).
Под усреднением здесь понимается усреднение по различным реализациям
случайного процесса. Вероятность перехода в теории возмущений
определяется формулой (11.21):
г
о
Так как / (t) - случайный процесс, то наибольший интерес представляет
среднее по реализациям значение вероятности перехода Среднее же значение
функции F2 (Т) выражается формулой *
СО
(F2 (Т)> = jj 5ш2-^-±-?(о>)Ло, (11.29)
- оо
где спектральная плотность случайного процесса g(w) есть фурье-образ
функции корреляции
+ со
g И = 2л S В{х)е шйх.
V2
228
В качестве примера рассмотрим экспоненциально коррелированный процесс
В (т) = /2е~1т'/е, где б -характерное время корреляции. Тогда
.При подстановке последнего выражения в (11.29) интеграл вычисляе!тся
элементарно:
(F2 (7')> = Z2 2б2 - 1 + е- т¦* ]. (11.30)
Зависимость функции (F2) от Г показана на рис. 41. При Г "С 6 (Р (Т))
я"/2Т2 - вероятность перехода меняется со временем квадратично, как и в
случае когерентного поля. При 6 второй и третий члены в скобке в формуле
(11.30) несущественны и
(F2 (T)) = f2-2TB =
=f2-2ng(0)T.
Последнее выражение применимо не только для выбранной функции корреляции.
В самом деле, в подынтегральном выражении формулы (11.29) функция g (и)
заметно отлична от нуля при со^б-1 и плавно меняется в этой области.
Первая же подынтегральная функция отлична от нуля главным образом в
области со<Т-1. Поэтому при Т 0 можно приближенно положить
4-00
(F2 (T))~g(0) jj sin2 (-?р-)2 du> = 2nTg (0).
- СО
Таким образом, если длительность импульса внешнего поля велика по
сравнению со временем корреляции, то вероятность перехода линейно растет
со временем:
w01=Vyr2-2ng(0) Т. ' (11.31)
В общем случае нерезонансного поля выражение для средней вероятности
перехода имеет такой же вид, с заменой g(0) на g (со - (о10). Поэтому
формулу (11.31) удобно
Рис. 41.
229
представить в виде
ьу01 = VSift-
• 2п/ (co0j) Г,
ПЛОТНОСТЬ ПОЛЯ
(11.32) на частоте
где / (о)01) - спектральная перехода.
Формула (11.32) выведена из теории возмущений. Поэтому она применима
только при не слишком больших Т, пока вероятность перехода ши остается
много меньше единицы.
8. Если при гармоническом воздействии на систему значение энергии
Е+ = Е0 /ко
попадает в область непрерывного спектра, то переход в состояние Е+ будет
резонансным. Однако выделение двухуровневой системы в этом случае
невозможно, так как знаменатели в (11.24) будут малы для группы состояний
с Е ^Е+.
Для вычисления вероятности переходов в этом случае удобно заменить
непрерывный спектр конечных состояний дискретным квазинепрерывным. Это
можно сделать, наложив на ВФ непрерывного спектра условие периодичности
на границах куба с ребром L, предполагая, что L много больше размеров
системы (ср. п. 6.13). Тогда можно использовать выражение для вероятности
переходов
-J- со 2
\ E0vel'("vo)'dt . (п.зз)
w.
Ov -
1
W
При вычислении матричных элементов E0v использованы ВФ конечных
состояний, нормированные на единицу в объеме ZA Найдем суммарную
вероятность перехода в состояния непрерывного спектра. Она будет
определять скорость распада начального состояния:
-J - СО
W-
и )
У0чд'Шуо 'dt
(11.34)
Число дискретных уровней Nv в интервале (Ех, Ev -\- AEV) в пределе L3->-
cо пропорционально ширине интервала ДЕ\. Определим функцию плотности
состояний р (v) такую, что
N (?v, Ev + AEV) = р (v) AEV.
230
Функция р (v) имеет размерность эрг~х и пропорциональна объему L3 куба
периодичности. Тогда в пределе L-усо суммирование по v можно заменить
интегрированием:
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed