Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
двухкомпонентные ф и х- Уравнение (10.19) в стандартном представлении
приводит к системе уравнений
(е - еФ - тс2) <р = со - ~ A j х>
(е -¦ еФ+тс2) X = са - -- Aj ф.
Ограничимся случаем слабого поля
е - еФ - тс2 тс2.
Выбирая положительное решение и полагая Е - г - тс2, получим
?ф = со(р--- Ajx + еФф, са (р - - А
У- = Ё + ш?-еФ 7 А) Ф- (10-2°)
Исключая функцию %, находим
к*)] г,
( 2 т . 1
?ф^|к-Д_--_^_ + еф|ф,
Используя тождество (10.14), приходим к равенству
?(Р = Ут (Р - Т А)2 + вФ - ^Гс ° rot А] Ф-
Введем напряженность магнитного поля
Н = rot А.
Тогда
?|Р = Й(р-7АГ+?ф-ЯгС'Н)]<Р' 00.21)
Это уравнение для большой в нерелятивистском пределе двухкомпонентной
функции ф называется уравнением Паули. Соответствующее уравнение для ф
(/) имеет вид
dt
Ф. (10.22)
Дополнительный член в гамильтониане (10.22) можно интерпретировать как
энергию взаимодействия собственного магнитного дипольного момента частицы
_ eh
Р РоО" Ро 2тс '
с магнитным полем. Величина р0 называется магнетоном Бора,
р0 = 9,27 • 10~21 эрг/гс.
Экспериментально наблюдаемый магнитный момент электрона действительно
очень близок к значению р0. Для нуклонов имеют место значительные
отклонения,
206
7. При выводе уравнения Паули мы пренебрегли чле-й^гнами порядка
(тс2)'1 (Е - еФ). Поэтому полученное урав-
Шше не содержит релятивистских поправок к гамиль-шану заряда во внешнем
электростатическом поле, ыскание таких поправок представляет интерес для
дач атомной спектроскопии. Пусть А = 0, еФ = 11 (г).
[?-Д(г)]ф = сорх,
[2/ис2 + Е - U (г)] х = сорср.
Р^хУчтем члены следующего порядка в разложении (10.20):
Г. E-U (г)"[ ар
х^Г1-^П!)]ДР.ф
к [ 2тс2 \2тс^ш
ГШ:
v v""*- '
'у#? Тогда для функции tp получаем
&§*f Учитывая коммутационное соотношение 'gjp- [°р. fop] = -
ik (о grad /) (op)
- и используя тождество (10.14), получаем равенство
ор • fop = fp2 - ih (V/.p + io [V/ X p]).
ш-
iP;;C учетом этого равенства уравнение (10.23) принимает
¦гЩ-вид
-4гг-]?*+1'*+
Ш +ш*ищхръ--^т(ю.24)
(r) первом члене в правой части с принятой точностью
можно произвести замену
Ш) Е-и<
VS?; ь и(г>^Ы'
Окончательный вид оператора Н:
есть обычный нерелятивистский гамильтониан частицы в заданном поле.
Первый член
= 00-25)
учитывает релятивистскую зависимость кинетической энергии от импульса.
Второй дополнительный член
^ = да[ТОхр] (10.26)
описывает энергию спин-орбитального взаимодействия. Он может быть
интерпретирован как энергия взаимодействия движущегося магнитного момента
с электрическим полем. В центральном поле
VH=r^,
г аг
и оператор У2 может быть преобразован к виду Л г v 1 1 dU ft2 dU
~ 4m2c2 f p] г 'dr - 2тЯг Тг S- (Ю.27)
Наконец, третий дополнительный член
Ш
4 т2с2
(VU) V
не может быть сохранен в таком виде из-за своей неэр-митовости:
Заменяя его в соответствии с правилом п. 2.1 эрмитовой частью, получим
**=<дато- (Ю-28)
Это выражение называется энергией контактного взаимо-, действия и не
имеет наглядной интерпретации или классического аналога.
8. Рассмотрим влияние релятивистских поправок на положение
энергетических уровней водородоподобных ионов. Поскольку в стационарных
состояниях р ^ tian 1 <!тс, то релятивистские члены малы, и можно
ограничиться их учетом в первом порядке теории возмущений.
208
% Введем атомные единицы. Тогда операторы Vt примут
: ; ВИД
л а2 А. л a2tА 1 dU
Vi = -уР4. Vs = TlsTSr, y3 = ^v2H.
Здесь введено обозначение а для безразмерной величины
е2 _ 1
а ==ЙсЯа 137,04'
которая называется постоянной тонкой структуры.
Вычисление поправок от операторов Vx и У3 облегчается тем, что они
действуют только на радиальную часть ВФ. В кулоновском поле ядра U =-Z/r
У3 = ^4я6(г), ¦ = (10.29)
Таким образом, контактная поправка отлична от нуля только для s-
состояний. Поправка от члена Vx вычис-- ляется с помощью представления
оператора Vx в виде
(1 Таким образом,
¦ ?1" - f (й + 2ZE"~* + ZV=4 = ^ (? _ .
v .При вычислении использованы результаты задач 5.4 и 5.5. В
нерелятивистском приближении энергия электрона .-в водородоподобном атоме
не зависит от спина. Поэтому 'для вычисления спин-орбитальной поправки
можно взять в качестве невозмущенных ВФ общие СФ операторов /2, /* и Р,
рассмотренные в п. 4.13. Учитывая тождество
2s Г = р -/2 -s2,
.мы можем переписать выражение для оператора возмущения в виде
v2=~-~{p-P-P}-
Таким образом, для поправки Я,11 имеем выражение Е§' = 0 (/==0).
209
Используя результат задачи 5.6'
-S &
~~ п3/(/+1/2)(/+1)'
получаем окончательное выражение для поправки Е'^':
p(11_""-ZM/(/+l)-Z(Z+l)-3/41 Л .
2 4п3 [ " I (1+1/2) (l+l) J* /о;-
Выражение в квадратных скобках можно выразить через / для различных
значений / = 1± у (/ + 0):
/(/+1)-/(/ + !) -3/4 _ 1
/ " ^ I О*
/ = /•
2' /(/+1/2) (/+1) (/+1/2) (/ + 1)* 1 . У (/+!) - /(/+ 1)-3/4 _ 1
2' /(/+1/2) (/+1) (/+1/2)7-
Складывая поправки Ег и ?0 при / = / + 1/2, имеем
F+ a3Z4 / 3 1 1 \ aJZ' /3 1 \
1+-3"2ns\4n / 2/(/+1/2)/ 2и3 \4" /+1/2 У*
Аналогично, при / = /-1/2
