Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
U (г) <г~2)= -
\ / r г
при г>г0. Для оценки коэффициента прохождения можно воспользоваться
методом ВКБ:
D (Е)^ех р
а'Е
-¦* S /Ч>-
Вычисление интеграла приводит к результату D(?)~"p[- УЩarccos -
Для типичных значений энергии сс-частицы Е ~ 1 Мэе, " - 4 -10 17 сд.
СГСЭ, г0>
Ег"\
а '
и наибольшую роль играет первый член в квадратной скобке
D(?)^exp[-(Z-2) |Л;]. (11.15)
Здесь
8я-те4 ?о--р~-
Такой вид коэффициента прохождения объясняет сильную зависимость времени
жизни a-активных ядер от энергии а-частиц (закон Гейгерсг- Неттола).
5. Рассмотрим теперь переходы в системах, гамильтонианы
которых зависят от времени явно. Практически
важен случай, когда зависящая от времени часть гамильтониана мала. Это
позволяет использовать теорию возмущений.
Пусть гамильтониан Н0 обладает только дискретным спектром, а зависящая от
времени часть V (t) мала по сравнению с Н0. Решение нестационарного УШ
' .
md?=[H0+V(t) ]ф (11.16)
представим в виде разложения по собственным функциям Н0-
= = (П.17)
ф* (о - (иле)
k
Подставляй (11.18) в (11.16) и учитывая (11.17), получим
= (11Л9)
k к
Умножая разложение (11.19) на ф" скалярно, получим
к
Зависимость от времени матричного элемента Vnk (/) включает в себя, кроме
зависимости V (/), экспоненциальный множитель
/. ±(Ет-Ек)*
Пусть при t - 0 akn = bk". Представляя akn(t) в виде разложения по
степеням е, в первом порядке получаем
Ш
dak"
dt
Vkn{t),
откуда
@kn
I
(0=--J- S У knit)
dt.
Вероятность перехода равна
-J- ОО
Wnk = 1
1
ft2
§ Vknei(a*n>
dt
(11.20)
(11.21)
Необходимым условием применимости (11.21) является сходимость интеграла:
при t -уоо гамильтониан должен совпадать с невозмущенным Если возмущение
стремится к конечному пределу
litn V (t) = V+ У 0,
<-"-|-ОЭ
то решение (11.20) следует преобразовать. Интегрируя по частям, получаем
@kn 1
Vkni t)e кп , r clVknr^
Л to*,,
Первый член в этой формуле в пределе t->- оо определяет поправку первого
порядка к ВФ состояния ф (см. формулу (6.14)). Вероятность перехода
определяется квадратом второго члена:
-|- со 2
jj ^T^^dt .
w>nk--
(11.22)
В предельном случае внезапного включения поля
^ = П"6(0.
где Vkn = (k\Й + - Н-\п), и формула (11.22) принимает вид
Условие применимости формул (11.21), (11.22), (11.23) состоит в малости
соответствующих вероятностей перехода. Поэто^' результат (11.23) нельзя
использовать для решения задачи, рассмотренной в п. 11.1.
Рассмотрим противоположный предельный случай, когда изменение V (t) за
промежуток времени мало. В этом случае под интегралом (11.22) будет
стоять произведение медленно меняющейся и быстро осциллирующей функции и
значение интеграла будет малым. Рассмотрим возмущение
V (0 = V0 (д + arctg a tj.
Тогда интеграл в (11.22) вычисляется элементарно:
-[-оо
-И
и вероятность перехода
VL |2
w. =-1_ .L e~2v}kn'a ka
при <лкп 5?> а оказывается экспоненциально малой. При .медленном
(адиабатическом) изменении внешнего поля система с подавляющей
вероятностью будет оставаться в основном состоянии.
6. Рассмотрим важный частный случай возмущения, периодически
зависящего от времени:
. V (0 = Р0 cos at.
Тогда согласно формуле (11.20)
"п, _ V/ш |У _ e-fcQ.-ct.f_ii
ацп (I) - 2% L w+a ' со-a J'
где мы ввели обозначение
а - Щп-
Полагая
S = co + a, R = a - a, для вероятности перехода получим выражение
__ I Vn/t |2 /1 - cos Rt . 1-cos St . l+cos2a< - cosRt - cosSt \
2Й2 { г RS )'
(11.24)
8 П. В. Елютин, В. Д. Крнвченков 225
Вероятность перехода периодически меняется во времени. Если частота
внешнего поля близка к одной из собственных частот системы а, то R S н в
формуле (11.24) можно пренебречь вторым и третьим членами:
В частном случае точного резонанса (R = 0) вероятность перехода
квадратично зависит от времени. Условием применимости формул (11.25),
(11.26) является малость соответствующих вероятностей перехода.
Если частота внешнего поля близка к одной из собственных частот, ю01 =
сс, то наиболее вероятными будут переходы между состояниями j0) и [ 1).
Пренебрегая переходами в другие состояния, можно ограничиться
рассмотрением двухуровневой системы. Отметим, что из (11.25) следует, что
при рассмотрении двухуровневой системы мы можем заменить оператор V
неэрмитовым оператором
Пусть на двухуровневую систему действует внешнее поле
Функцию f(t) мы будем называть 'огибающей импульса. Ограничившись
рассмотрением состояний 10) и 11), мы можем представить ВФ системы в виде
ф (х, t)e^ a (i) фо (х) е'а<>( b (() фх (х)
Уравнения для коэффициентов разложения a(t), b{t) имеют вид
Здесь введено обозначение б для расстройки частот системы и поля:
(11.25)
I V I 12
(11.26)
ih^ = V01f(()e'4, ^-^=l/oi/(Oe"'w"-
(11.27)
6 = 0)10 - CD.
226
включая а из второго уравнения системы (11.27), получаем
'¦ + = О- (П.28)
*
'Решение уравнения (11.28), удовлетворяющее начальному ^условию 6 (-оо) =
0 при 6 = 0, имеет вид
" t
* 6(<) = sin ^ dt.
к -со
/Вероятность перехода при i-^-co в состояние ].!)
