Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
переходов при внезапном возмущении определяются значениями коэффициентов
атп в разложении ф" (х) по собственным функциям Н+:
(х) = акц>к (X).
k
Приближение внезапных переходов оправдано, если интервал А/, за который
происходит изменение поля, мал по сравнению с величинами
1 _ п
а>пк Е п Ек
где Ек относится к конечным состояниям.
В качестве примера рассмотрим вероятность перехода атома трития Н:! в
основное и возбужденные состояния иона He3i при р -распаде ядра. Время
изменения потенциала ядра по порядку величины равно времени пролета
214
д- p-электрона через атом:
где ой -боровский радиус. Это время мало по сравнению
;?'с характерным атомным временем Та = Клт хе 4. Вероят-
% ность перехода в ls-состояние определяется скалярным
^^произведением ВФ начального и конечного состояний: г
р:,; ^1,1 = 1 Й1,! !2 = (|-)2 Я" 0,70. (11.3)
• i*1. -
' ЧЭ*"'4*
ЧриЗдесь Zj и Z2 суть начальный и конечный заряды ядра.
Заметим, что переходы в состояние с I -/- 0 невозможны •Ч; из-за
ортогональности угловых частей ВФ. Аналогично -^.вычисляется и tt>1St2s =
0,25. Таким образом, при р~-рас-ж&.паде ядра атома трития образующийся
ион Не3+ будет с подавляющей вероятностью находиться в основном или ¦Щ 'в
первом возбужденном состояниях.
2. Задача об эволюции состояния (х), приготовлен-,' ного в момент / =
0 мгновенным изменением поля С. -> U+, ?3й$1редставляет особый интерес,
если гамильтониан Н+ обла-щ ,-дает- непрерывным спектром. Физически
реализуемые ??Й?остояния частиц описываются ВФ, локализованными ~&-'ъ
некоторой области пространства (принадлежащими L2), не могут совпадать с
ВФ непрерывного спектра. Состояние, которое описывается функцией из L2,
представляющей суперпозицию ВФ непрерывного спектра, ^-'называется
волновым пакетом. Задачи об эволюции вол-УрЮвых пакетов относятся к
первому типу задач, упомя-
Ц:^;ЙуТЫХ В П. 11.0.
"**V- Рассмотрим волновой пакет свободного движения, '%й.1который при t =
0 имел вид
/Ж, ф(х, 0) = е 2"2-
" Готовящее поле U~(x) есть потенциал гармонического ^Осциллятора:
Ш: й (х) ^~х\
Поле U+ равно нулю. Спектральная функция a(k) определится выражением
+ ф
a(k) - - ^ Ф(а', 0) e ikx dx~-^=re-k2a2i2.
W 2п J V 2л
- СО
Зависящая от времени ВФ имеет вид
-f- СО
яр (лг, 0= ^ ci{k) ei(hx^ dk.
Вычисление интеграла дает ф(х, t)
V
а2+( ;
. tit
exp
2(u2+sl)
Распределение плотности вероятности
1
р(х, t)
У
tit \2 та
ехр
о , \2
a"+U)
с течением времени сохраняет ту же форму, что и в начальный момент.
Однако ширина распределения возрастает со временем: происходит
расплывание волнового пакета. Расплывание становится существенным при
, " _ та-
1>1 - п •
Величину Т естественно назвать временем жизни волнового пакета. Отметим,
что аналогичный результат мы получим для любого волнового пакета, который
при t - 0
описывается действительной ВФ. Наличие расплывания связано с законом
дисперсии для свободных частиц Е (к) k2.
Рис. 38.
3. Особыми чертами обладает процесс расплывания волнового пакета в
центральном поле, имеющем вид барьера (рис. 38). Пусть приготовленное при
t - Q состояние описывается ВФ ф(г, 0) локализованной внутри барьера*.
Схема отыскания зависящей от времени ВФ остается той же, что н в
предыдущем пункте. Раскладывая начальную ВФ по системе ВФ стационарных
состояний Ф (k, г), нор-
216
мированных на б-функцию от к, мы найдем спектральную плотность
СО
А (к) =.$ ф (г, 0) Ф (к, г) dr. (11.4)
о
Зависящая от времени ВФ будет определяться интегралом
со
ф (г, t) = $ А (к) Ф (к, г) е ш dk. (11.5)
о
Пусть f(k, г) есть решение радиального УШ с асимптотикой е 'кг. Тогда
функция Ф (к, г), имеющая асимптотику
Ф (к, г) j/~}sin[?r + б0 (k)],
где 60(&)-фаза рассеяния, может быть представлена в виде
Ф(*, = г)].
(11.6)
где S0 (к) есть элемент матрицы рассеяния. Подставляя (11.6) в (11.4),
спектральную плотность представим в виде
где
А (к) = } |а {ik) V S0 (к) - а (- ik) р=~], (11.7)
СО____________________________
а (ik) = J ф (г, О)")[ (к, г) dr.
О
Подставляя (11.6) и (11.7) в выражение (11.5), получим
ОО
НК'. 0=5} [а т КЗД - а (- ik) ^7^==! X
СО
= - -L \ [а (ik) So (к) - а (- ik)] f(-k,r) егш dk +
о
со
г)гШЛ-
Учитывая, что согласно (9.80)
Sa'(k) = S0(-k),
и заменяя во втором интеграле k на - к, получим ф(г, 0 =
-Г СО
.= ~ 7- ["(г/г) S0 (к) - а (- ik)\ f (- &, г) f>-,4u' t/A.
I 2л J
- CO
(11.8)
Формула (11.8) точная. Найдем асимптотический вид •ф (г, t) на больших
расстояниях вне барьера. Тогда под интегралом в (11.8) можно заменить
функцию / (-к, г) ее асимптотическим значением "
+ СО
я|; (г, () i [a(ik)S0(k) - а(-i?)]e?<fcA-">*>dk. (11.9)
1' 2л J
fit
' m '
Введем новую переменную
y-Vll[k~l)' г-
Тогда формула (11.9) примет вид
ф(л, 1)(^В\ е-У' [а+ (у) S (у) - а ~ (у)] dy, (11.10)
с
где
_ _ Г2
В = -у a-±(y) = a[±ik(y)].
Интегрирование в (11.10) ведется вдоль контура С -диагонали третьего и
первого квадрантов плоскости комплексного у. Функции а+ (у) и а (у) не
имеют осрбенностей. Если S (у) не имеет особенностей, то контур С может
