Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
разбиению ап числа п. Тогда ограничение этого представления на подгруппу
if имеет вид
!"*")= 2 K(an-i) (17.16)
U.O/i-1
где Т"*п->)-неприводимое представление группы ifn-lt а суммирование
распространяется на все разбиения ап_л числа п- I.
Характер представления Т(ал) для элементов подгруппы i^n-i определяется
таблицей характеров группы ifп. Нужно только выбирать лишь те классы
сопряженных элементов, у которых есть хотя бы один цикл единичной длины.
Коэффициенты т (ал-1) можно вычислить по формуле (4.28) на основании
полной таблицы характеров группы &п_г.
Рассмотрим, например, случай п = 4. Классами сопряженных элементов группы
if 4, которые содержат элементы группы if3, будут (1П1), (211) и (31).
Они содержат, соответственно, элементы из следующих классов сопряженных
элементов группы сf3: (111), (21) и (3). В табл. 17.2 приведены характеры
представлений Т*0*) и взятые из табл. 17.1. Разложение характеров
приведено справа. Мы видим, что числа т (а3) равны либо нулю, либо
единице.
222
Глава 17
Таблица 17.2
(111) (21) (3)
х[31 1 1 1
х[211 2 0 -1
Х[Ш1 1 - 1 1
X[4J 1 1 1 Xm
%i*u 3 1 о х"] + хгвд
^122] 2 0 -1 X[21J
Х[2И] 3 -1 о X[2i] + Xunj
X11111 1 -1 1 Х1Ш]
Можно показать, что в формуле (17.16) коэффициенты т(ап_1) всегда равны
либо нулю, либо единице. Существует простое правило, позволяющее
определять, какие именно коэффициенты т (а,,^) равны единице: схемы Юнга
а"_ъ для которых т(а"_1)=1, получаются путем удаления одного квадрата из
схемы Юнга ап. Например, при удалении одного квадрата из схемы Юнга
ю
в
получаются схемы I-1-1-| и г т~1, но не схема
F'
§ 8. БАЗИСНЫЕ ВЕКТОРЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Базисные векторы неприводимого представления Т(а,1> группы ГГп можно
нумеровать соответственно их поведению при последовательных ограничениях
на подгруппы ГГ п -> ГГ п_х -ГГ п_г -*¦ ... -ГГ%. На каждом шаге мы
рассматриваем разложение (17.16). Цепочка подгрупп получается путем
удаления сначала объекта п, затем объекта п-1, и так до тех пор, пока не
останутся лишь объекты 2 и 1, на которые действует группа ГГ2. Каждому
век-
Группа перестановок п
2/3
тору базиса для представления Т<а^ приписывается последовательность
разбиений а", а"_1; а2, описывающая
его поведение при таком последовательном ограничении на подгруппы. Обычно
это делается в четыре этапа.
1. В качестве первого индекса всем базисным векторам неприводимого
представления Т(ал> группы очевидно, можно приписать одно и то же
разбиение ап.
2. При ограничении на подгруппу & базисные векторы в разложении
представления Т("п) можно выбирать из неприводимых представлений
группы n-lt которые входят в разложение (17.16). Следовательно, в
качестве второго индекса базисного вектора можно взять соответствующее
разбиение о,п_1. Так как представления T<"n-i) входят в разложение не
более одного раза, число базисных векторов с индексом ап_1 совпадает с
размерностью представления T("n-i).
3. При ограничении с группы &п_г на подгруппу каждое неприводимое
представление T<"n-i> будет разлагаться в сумму неприводимых
представлений Т<"-"-*) группы Последовательность базисных векторов с
двумя индексами апап_1 теперь можно выбрать так, чтобы векторы
принадлежали каким-либо представлениям Т(я"-г). Значит, в дополнение к
индексам ап и ап_г базисные векторы приобретают индекс а"_2. Число
базисных векторов с набором индексов апап_1ап_2 снова совпадает с
размерностью неприводимого представления T<a"-2>.
4. Очевидно, что такой процесс можно продолжить до тех пор, пока мы не
придем к базисным векторам с набором индексов апа"_1а"_2 . . . а2. Число
базисных векторов, имеющих данный набор индексов, опять будет равно
размерности последнего неприводимого представления. Но теперь это
представление а группа <^2 имеет лишь одномерные неприводимые
представления. Поэтому векторы полностью определяются набором
а"а"_1а"_2.. .а2, т. е. в представлении Т(""> нет двух базисных векторов
с одинаковым набором индексов, и любому набору индексов соответствует
некоторый базисный вектор представления Т<"л>. Нужно, конечно, помнить,
что в любом таком наборе схема Юнга ап_1 должна получаться путем удаления
одного квадрата из схемы ап, схема а"_2 должна получаться путем удаления
одного квадрата из схемы
и т. д.
224
Г лада 17
Набор индексов a"a"_ian_2 •. • a2 может показаться слишком сложной
системой нумерации векторов, так как каждое разбиение аг соответствует
схеме Юнга, состоящей из г квадратов. Но можно обозначить этот набор
одной схемой Юнга ап, в квадраты которой вписаны числа от 1 до п. Тогда
мы получим так называемую таблицу Юнга. Числа определяются следующим
образом. В квадрат, при удалении которого из схемы Юнга а" получается
схема Юнга а"_1; вписывается число и; в квадрат схемы Юнга при удалении
которого получается схема Юнга а"_2, вписывается п- 1 и т. д. Из способа
построения явствует, что числа в квадратах таблицы Юнга должны
уменьшаться в направлении справа налево и снизу вверх.
