Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 75

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 138 >> Следующая

принимать лишь значения ±1- Таким образом, четность я(Р) определяется как
результат действия перестановки Р на определитель Фл.
§ 3. КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В гл. 2, § 7 мы показали для групп вращений, что если два вращения R и R'
лежат в одном классе сопряженных элементов, то группа должна содержать
вращение, переводящее ось вращения R в ось вращения R'. Для группы
перестановок аналогичный результат формулируется так: если две
перестановки Р и Р' лежат в одном классе сопряженных элементов группы Уп,
то должна существовать перестановка Q, которая при действии на обе строки
перестановки Р дает перестановку Р\ Для доказательства этого утверждения
определим сначала перестановки
Р-(Д <17-4>
/1 2 ...п\
\Чх Ч2 ••• 4"J Vi r2 ... rj
Последнее тождество позволяет найти числа rt, если известны числа pi и
q(. Далее,
QPQ'1 =а( VH1 2"'
<Рх Pf •• Рп
= Р'. (17.6)
п \(Чх ч*
Рп :Д1 2.
Чх 4f '• Чп
Гх Г 2 * " • г",
Но перестановка Р'-это как раз перестановка Р [формула (17.4)], у которой
числа обеих строк переставлены согласно перестановке Q, заданной формулой
(17.5), т. е.
Группа перестановок <Tfn
213
числа 1 2.. .п заменены числами q1 q2...qn, а числа Pip2-- -Рп-числами гг
г2. ..гп.
Если говорить о циклах, то этот результат означает, что все элементы
группы of п, соответствующие одному разбиению [/А-..], лежат в одном
классе сопряженных элементов и, наоборот, все элементы из одного класса
сопряженных элементов имеют одинаковую структуру распределения длин
циклов, т. е. им сопоставляется одно разбиение. Например, две
перестановки
(\ 2 3 4 5\
РЧз 1 254Н1 3 2)(4 5)' '(17J)
/Ч 2 3 4 5\
Р' = \2 1 4 5 3/ ~(1 2)(3 4 5) = (3 4 5)0 2> (17'8)
из группы аР5 лежат в одном классе сопряженных элементов. Чтобы
определить перестановку Q, при которой P' = QPQ-\ достаточно просто
заменить числа в циклах формулы (17.7) числами из циклов формулы (17.8),
что дает Q = (3 5 4 iD- Нетрудно убедиться, что
/Ч 2 3 4 5\/1 2 3 4 5\ (Ъ 5 4 1 2\_
QPQ~l = \3 5 з 1 2У V3 1 2 5 4Л1 2 3 4
5/
/3 5 4 1 2\ /1 2 3 4 5\ ,
= V4 3 5 2 1 / \2 1 4 5 3j = P *
Конечно, перестановка Q не единственная, так как она задается лишь
соотношением P' = QPQ-1, которое не меняется, если перестановку Q
умножить справа на перестановку, коммутирующую с перестановкой Р.
Мы видим, например, что шесть элементов группы РР 3 распадаются на три
класса сопряженных элементов
#i = E (тождественная перестановка),
?2 = (1 2 3), (1 3 2),
?, = (1 2), (1 3), (2 3),
которым сопоставляются три разбиения [111], [3] и [21]. Циклы единичной
длины обычно опускают, как выше в классе #3. Недоразумения из-за этого не
возникают. Считается, что все ненаписанные числа остаются неизмен-
214
Глава 17
ными. В данном примере классы сопряженных элементов #!, #2, и %3
упорядочены в соответствии с примерами гл. 2, § 7, п. Б и В. Более
логично было бы упорядочивать классы сопряженных элементов по наибольшим
длинам цикла, начиная с тех классов, у которых наибольшая длина цикла
минимальна. Классы сопряженных элементов, у которых длина наибольших
циклов одинакова, можно упорядочивать по длине следующего наибольшего
цикла и т. д.
§ 4. ТРИВИАЛЬНОЕ[И{АНТИСИММЕТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, СИММЕТРИЧНЫЕ^
АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ^ФУНКЦИИ
Оставшаяся часть данной главы посвящена в основном неприводимым
представлениям группы of п. Завершением всего будет построение матриц
Т(Р) в § 13. В данном же параграфе мы ограничимся рассмотрением двух
простых одномерных представлений. Они строятся для любого п. Во-первых, у
группы перестановок, как 'и любой группы, есть тривиальное одномерное
представление, которое каждому элементу группы сопоставляет число +1.
Следовательно, функция Ф5, преобразующаяся по этому представлению, не
меняется при любой перестановке. Ее обычно называют полностью
симметричной функцией. Итак, при любой перестановке Р
РФ5 = Ф5. (17.9)
При произвольном п существует и другое одномерное представление,
называемое антисимметричным. Оно каждому элементу Р сопоставляет четность
я(Р)=±1. Это есть представление группы перестановок, поскольку четность
произведения перестановок равна произведению четностей перестановок. В
самом деле, посмотрим, как произведение R = QP действует на функцию Фл
[формула
(17.2)]: 1*ФЛ = ОРФл = Оя (Р)ФЛ = л (Q) л (Р)ФЛ. Отсюда получаем, что,
действительно, я (R) = я (О) я (Р). Функция Фл- это удобная базисная
функция антисимметричного представления
РФл = я(Р)Фл. (17.10)
Группа перестановок rfn
215
Функция типа функции ФА, которая преобразуется по антисимметричному
представлению, называется полностью антисимметричной. В частности, она
обладает свойством
Р,..фл = _фл (17.11)
при любых простых перестановках Р,-..
В гл. 4, § 19 мы построили проекционный оператор, который, действуя на
произвольную функцию, дает функцию с определенным типом симметрии.
Проекционные операторы для двух одномерных представлений, рассмотренных
выше, таковы:
s=izp-
(17-12)
-^На-
численный множитель 1/п! в большинстве случаев не имеет значения. Первый
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed