Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 74

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 138 >> Следующая

Параграфы 4-9 посвящены неприводимым представлениям и характерам группы
if п. Там же введены схемы и таблицы Юнга, как удобный способ нумерации
неприводимых представлений и базисных векторов. Вопрос о явном виде
матрицы произвольного представления мы отложили до § 13. Продолжая
начатое в § 10 обсуждение обычного прямого произведения, мы в § 11 введем
понятие внешнего произведения, которое также пригодится в гл. 18.
Основное внимание в данной главе будет уделено разъяснению сути дела, а
не строгому изложению. Поэтому мы не доказываем все утверждения в общем
случае любых чисел п. Мы не выводим общих формул для таких величин, как
характеры, хотя и объясняем, как эти величины можно найти при любом
заданном п.
§ I. циклы
Цикл-это перестановка особого вида. Она определяется следующим образом.
Предположим, что целые числа plt р2, ..., Pi расставлены по порядку с
угловым интервалом 2я// вдоль единичной окружности. Поворот на угол 2п/1
(в обозначениях примера 10 гл. 2, § 2) приводит к перестановке
f Pi Pi Рз • • • Pi-i рД \Pi Рз Pt ••• Pi PlJ
210
Глава 17
Такая перестановка называется циклом, длина которого равна I, и
обозначается символом (рур2р3 • ¦ • Pi)-
Любую перестановку
р /. 2
\Pl Р 2 ••• Рп)
можно представить в виде произведения циклов. Так, например, мы можем
представить перестановку в виде /1 23456 789 Ю\ /1 3 5 8\ /2 7\/ 6 9 10\_
V3 7 5 4 8 10 2 1 6 9J \ 3 5 8 1Д7 2Д10 6 9/= = (1358) (6109) (27) (4),
т. е. в виде произведения четырех циклов длиной 4, 3, 2 и 1. В случае
произвольной перестановки Р число 1 заменяется числом plt тогда как само
число рх, стоящее где-то в первой строке матрицы Р,'заменяется числом,
стоящим ниже, допустим числом qx. Точно так же число qx заменяется
некоторым числом г у. Следовательно, мы получаем последовательность чисел
1, рх, qu Гу, ..., которая продолжается до тех пор, пока снова не
появится число 1. Эта последовательность дает цикл (1 ру q, Гу ...). Цикл
может содержать все числа от 1 доЛг, но, вообще говоря, этого может и не
быть. В таком случае выберем число, не входящее в цикл. Тем же способом,
начиная с этого числа, строится новый цикл, у которого нет общих
элементов с первым циклом. Таким образом перестановку Р однозначно
представляют в виде произведения циклов. Перестановки, соответствующие
отдельным циклам, очевидно, коммутируют, так как нет чисел, принадлежащих
одновременно любым двум циклам. Заметим, что если какое-либо число не
меняется при перестановке Р, то ему соответствует цикл длиной Z= 1,
который состоит именно из этого числа. Сумма длин 1{ циклов перестановки
Р должна быть равна числу п. Поэтому разбиение [на циклы связано с
разбиением п = 2 h целого
i
числа п на положительные целые числа 1{. Для определенности мы всегда
расставляем циклы в порядке убывания длин, т. е. li^li+y. Мы будем
использовать обозначение [lyl2 В приведенном выше примере при п- 10
перестановке сопоставляется разбиение [4 3 2 1].
Цикл длиной I = 2 называется "простой перестановкой" и обозначается
символом Р,-,-. В частности, перестанов-ка Р; /+1 называется "смежной
перестановкой".
Группа перестановок rfn
211
Любой цикл и, следовательно, любую перестановку можно представить в виде
произведения простых перестановок. В самом деле, нетрудно убедиться, что
Любую простую перестановку можно путем последовательного применения
соотношений типа пред-
ставить в виде произведения смежных перестановок.
§ 2. ЧЕТНОСТЬ ПЕРЕСТАНОВКИ
Перестановке можно приписать "четность" +1 или-1 следующим образом: 1)
цикл нечетной длины имеет положительную четность +1; 2) цикл четной длины
имеет отрицательную четность -1; 3) четность перестановки равна
произведению четностей всех ее циклов. Положительная четность ставится в
соответствие нечетной длине цикла не из прихоти, такое сопоставление
естественно, поскольку при этом цикл единичной длины, при котором ничто
не переставляется, имеет положительную четность.
Существуют еще два эквивалентных определения четности перестановки. В
первом из них каждый цикл представляют в виде произведения простых
перестановок. Тогда цикл нечетной длины содержит четное число простых
перестановок и наоборот. Значит, перестановка с положительной четностью
содержит четное число простых перестановок, а перестановка с
отрицательной четностью - нечетное. Во втором из эквивалентных
определений берут функцию
Это определитель, построенный из п разных функций фв совокупности п
разных переменных х1; х2, ..., х". Любая перестановка переменных приводит
к определителю с переставленными строками. Согласно теории определи-
q>i(*i) ср8 (*i) . . . (pjxj <Pi (х*)
(17.2)
Фх (xn) ф2 (*") . . . ф" (*")
212
Глава 17
телей, это эквивалентно умножению определителя на +1 или -1 в зависимости
от того, четное или нечетное число простых перестановок строк. Но такое
число в точности совпадает с четностью перестановки, т. е.
РФл = я(Р)Фл, (17.3)
где через л(Р) мы обозначили четность перестановки Р. Величина л(Р) может
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed