Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Наша система нумерации полностью определяет базисные векторы. Поэтому
размерность неприводимого представления Т<"п> равна числу разных таблиц
Юнга, которые можно получить из схемы Юнга а". Таким образом, мы получили
простой способ вычисления размерности любого неприводимого представления
группы с?п [4]. Правда, эти размерности фигурируют в таблице характеров
как характеры единичного элемента.
Т аблица 17.3
Таблицы Юнга при я = 2, 3 и 4
Разбиение
У2 И
[11]
Уз Ш
Таблица
Юнга
1 2 3
Разбиение
Таблица
Юнга
[4] 1 2 з 1 4 1
[31] 1 2 3 1 2 4 1 3 4
4 3 2
[22]- 1 2 1 3 ''
3 4 2 4
[21]
[111]
1 2
3
1
2
3
[211]
[1111]
1 г\
3
4
1
2
3
4
1 3 1 41
2 2
4 3
Группа перестановок ?fn
225
В табл. 17.3 приведены таблицы Юнга для всех неприводимых представлений
групп af2, af3, <^4. Например, для представления [31] группы <5Р4
возможны три таблицы Юнга, соответствующие трем базисным векторам. Это
соответствует размерности неприводимого представления, приведенной в
табл. 17.1. Эквивалентность громоздких обозначений а4а3а2 и таблиц Юнга
можно продемонстрировать на примере:
-Щ.К1 = I I 1 ГП ЦП = [31] [21] [2]
Яманучи предложил еще более удобное для печати обозначение. Вместо таблиц
Юнга он ввел символ Яманучи г4), в котором гк - номер строки, где
находится число k. Для приведенного выше примера символ Яманучи-это
(1211). Таким символом полностью определяется таблица Юнга. В самом деле,
начиная с числа л, нужно двигаться влево2 помня, что в таблице Юнга числа
должны возрастать в направлении слева направо и сверху вниз. При этом
всегда /т = 1, r2- 1 или 2 и т. д. Одним из преимуществ обозначения
Яманучи является то, что, убирая число гп, мы получаем символ Яманучи,
определяющий поведение базисного вектора представления Т("л) при
ограничении представления на подгруппу Рп-ь Последовательно отбрасывая
числа гп_ь гп-г, . .., г3, получаем символы Яманучи, характеризующие
поведение базисного вектора при последовательных ограничениях
представления на подгруппы 2f n-i, 9>п-ъ,..., 9>2.
§ 9. ПРИМЕРЫ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В предыдущем параграфе мы ввели систему нумерации базисных векторов
неприводимого представления. Это очень стройная, но довольно формальная
система. Теперь мы на основании функций (17.13) построим несколько
конкретных примеров базисных векторов при малых п, что позволит нам
записать матрицы представлений в явном виде. Элегантные общие правила для
написания таких матриц будут приведены позже (§ 13).
226
Г лава 17
При любом п одномерные представления [я] и [111...] соответствуют
полностью симметричному и полностью антисимметричному представлениям (§
4). Если начать с малых п, то первое представление, отличное от этих
представлений, соответствует разбиению [21] числа п = 3, а
соответствующая функция (17.13) равна
Упростим обозначения и положим Ф([21]) = | 112>, где \ijky - краткая
запись функции ф,-(1) ф;-(2) фй (3). В обозначениях § 5 пространство L
[21]-это пространство, порождаемое перестановками аргументов функции
Ф([21]). Пространство ?[21] трехмерно. Его базисными векторами будут
функции |112>, | 121> и |211>. Из табл. 17.1 следует, что представление,
действующее в пространстве ?[21], разлагается на два неприводимых
представления j[3i и рГ21]_ Полностью симметричный вектор имеет вид •
где V3-нормировочный множитель. Представление Т[211 порождается
ортогональным дополнением, т. е. двумерным пространством векторов,
ортогональных вектору
(17.18). Естественно, в выборе пары базисных1'векторов этого пространства
имеется некоторый произвол. Если мы выберем два вектора
0([21]")('={2| П2>-| 121>-|211>}/Кб, 9 ([21] &) = {| 121>-1211>}/К 2,
то очевидно, что они не только ортогональны вектору
(17.18) и друг другу, но и принадлежат неприводимым представлениям
подгруппы действующей на частицы 1 и 2. Вектор 0 ([21] а) симметричен по
отношению к перестановке Р12, а вектор 0 ([21] 6) антисимметричен.
Поэтому они соответствуют таблицам Юнга
В таком базисе представления Т[21] матрица переста-
новки Р12 имеет вид . Производя перестановки
в формулах (17.19), например, Р230 ([21]й) = {2| 121 > -
Ф([21]) = ф1(1)ф1(2) Ф2(3).
(17.17)
0([3]) = {|112> + |121>+ |211>}/]/3, (17.18)
Группа перестановок ?fn
227
Р1Я =
- | 112>-1211>}/Кб = -V20 ([12] a) + V*U 9([21]&), нахо-
/ 1j у з/ \
дим матрицу перестановки Р23: Р23 =( 1 4).В§1мы
3Л /2 '
доказали, что любую перестановку можно представить в виде произведения
простых смежных перестановок. Поэтому, зная правила умножения элементов
группы, все матрицы представления Ttzi] мо'&но выразить через известные
матрицы Р12 и Р23. Так, например, Pi3 = Pi2P23Pi2 и матрица перестановки
Р13 равна произведению матриц:
/10V-Vj V%\(1 0 -УчЛ
^o-iAKv. >/, До -1/ \-V'U Ч, )'
Подобное упражнение при п - 4 мы предлагаем в качестве задачи 17.5. В §
13 мы приведем простые правила написания матриц простых смежных
