Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в формуле (17.28) для такой схемы Р коэффициент т (|3; а, а') равен р.
Группа перестановок ?Рп
233
I.
Приведем два примера.
) 1 1 I (r) lQMgl = 1111 \а\аЩ (c)
LgJ.g3
га ф
а а а а а
т. е. T[4J 0 Ты = Т17,фТ[61]фТ(5210Т|43).
И.
а 3 ~ а]а
Ъ ь
№1
а
а b
"1
а
А
с| Ф И Ф 0
Ь а а
а а а b а
ь_ А
т. е.
Т[21! 0 Т[2]-' = Т142' ф Т[41Иф Т,33)ф 2Т[згз)ф
0TI3nil(r)Tl22?]0Tf221lJ. (17.29)
В процессе добавления квадратов "разбиение [321J в примере II получается
двумя способами. Значит, представление Tt321j входит в разложение (17.28)
с коэффициентом т *=2. Пользуясь формулой (17.25), проверим, совпадают ли
размерности в обеих частях таких разложений. В этих двух случаях
размерности таковы: 1 х 1 х7!/4!3!=35 для примера I и 2х2х6/313! - 80 для
примера II. Нетрудно убедиться, что эти числа совпадают с суммами
размерностей [с учетом коэффициентов т ((3; а, а')] представлений Т(э>,
входящих в разложения.
§ 12. ОГРАНИЧЕНИЕ НА ПОДГРУППУ И ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
В § 7 мы изучали разложения неприводимых представлений группы & п при
ограничении их на подгруппу Произведение групп cf"X<5V является
подгруппой группы •З'п+п' (например, как в § 11, группа &'п действует на
частицы с номерами 1, 2, ... п, а группа'JPn'-на
234
Глава 17
частицы с номерами п+1, я+ 2, п-\-п'). Следова-
тельно, неприводимое представление Т(Р> группы [ГГп+п' будет, вообще
говоря, приводимым представлением подгруппы rfny.rfn'\
Т<3) = 2 т(р; а, а')Т<*х"'>, (17.30)
а, а'
где неприводимое представление произведения групп задается двумя схемами
Юнга а и а'. Коэффициенты т ф; а, а'), фигурирующие в этом разложении,
можно вычислить с помощью таблицы характеров, пользуясь выражением (4.66)
для характеров произведения групп.
Читатель, возможно, уже заметил, что мы обозначаем одинаково через т (|3;
а, а') коэффициенты в двух на первый взгляд совершенно не связанных между
собой выражениях (17.28) и (17.30). Это мы сделали намеренно и теперь
докажем, что эти коэффициенты совпадают. Из равенства (17.30) следует,
что
Х<Р> = 2] тф\ а, а') %("*"').
а, а'
В силу ортогональности характеров неприводимых представлений группы ^х^л'
коэффициенты можно вычислить по формуле
^Zx(p)(GG0x("x"'>(GG')^m(,3; а, а'), (17.31)
G, G'
где G - элемент группы п, a G'-элемент группы afn>. Для коэффициентов в
разложении (17.28) внешнего произведения представлений соответствующая
формула имеет вид
(^iEx(P)(H)x(HH/H(P; а, а'). (17.32)
где Н-элемент группы <Уп+п', a %-характер внешнего произведения
представлений Т = Т<"> (r) Т<а'>, Поскольку представление Т порождено
функциями типа (17.24), характер представления Т должен обращаться в нуль
на любом классе сопряженных элементов группы dfn+n', который не содержит
элементов подгруппы т. е.
X (Н) = о для элементов Н из таких классов. Можно пока-
Группа перестановок Sn
235
зать, что для остальных элементов характер имеет вид МнуДН)
=^^^oo'X(aXa')(GG'), (17.33)
где GG'-элемент группы SnxSn', принадлежащий тому же классу сопряженных
элементов, что и элемент Н. Величина Nh есть число элементов в этом
классе сопряженных элементов группы аРп+п', а величина NGG-число
элементов в соответствующем классе сопряженных элементов группы
Наконец, подставляя выраже-
ние (17.33) в равенство (17.32), мы видим, что суммы
(17.31) и (17.32) совпадают, так как все элементы одного класса
сопряженных элементов дают одинаковый вклад. Значит, использование
одинакового обозначения т (Р; а, а') в равенствах (17.28) и (17.30)
вполне обоснованно.
В частном случае и'=1 разложение (17.30) есть не что иное, как
рассмотренное в § 7 разложение при ограничении Sn+1 -<-Sn. Мы убедились
там, что все коэффициенты т равны либо единице, либо нулю. Таким образом,
это другой способ доказательства формулы (17.27).
В качестве примера разложения (17.30) рассмотрим случай группы <У4 и ее
подгруппы S2xS2. Характеры этой группы приведены в табл. 17.4. Классами
сопряжен-
Таблица 17.4
(11)(11) (H)(2) (2) (11) (2)<2)
S2 XS2
[2] (r) [2] 1 1 1 1
[2] (r) [И] 1 - 1 1 -1
[11] (c) [2] 1 1 -1 -1
[11] (r) [11] 1 - 1 -1 1
[4] 1111 =[2](r) [2]
[31] 3 1 1 -1 =[2](r)[2]ф[2](r)[11](c)[11](r)[2]
[22] 2 0 0 2 =[2] (r) [2] (c)[11] (r) [11]
[211] 3 -1 -1 -1 = [2J (c) [2](r) [11](r) [2] (r) [11](r) [11]
[1111] 1-1-1 1 =[11](r) [11]
ных элементов произведения групп <0Р2 являются всевозможные произведения
классов сопряженных элементов
(11) и (2) каждой из групп S2. Аналогично все неприводимые представления
произведения групп S2 одномерны
236
Глава 17
и являются произведениями представлений [2] и [11] каждой из групп of2.
Для неприводимых представлений группы ГГ4 соответствующие характеры
находятся с помощью таблицы характеров группы ГГ 4, указанных в табл.
17.1 (§5). При этом нужно отождествить классы сопряженных элементов
(H)(2) и (2)(11), так как они принадлежат одному классу сопряженных
элементов (211) группы ГГ4. Произведение классов (2)(2) принадлежит
