Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
из этих двух операторов называется симметризатором, а второй -
антисимметризатором. Какова бы ни была функция f, функция /s - S/ будет,
согласно общей теории гл. 4, § 19, полностью симметричной, а функция fA =
Af-полностью антисимметричной. Правда, для некоторых функций / функции fs
и fA могут тождественно равняться нулю.
Рассмотрим, например, случай, когда [п = 2 и f = x±. Имеем
S f = 1|(Е + Р12) = (х, + х2) = fs,
Af = у|(Е-Ри) *i = j (Xi-xt))fA ¦
Заметим, что здесь E = S-f-A, т. е. f - Значит,
любую функцию двух переменных можно представить в виде суммы симметричной
и антисимметричной составляющих.
В качестве второго примера возьмем п = 3 и снова
216
Глава 17
будем проектировать функцию f = x1. Тогда
П 2 3\ /1 2 3\
\2 3 1 ) + \3 1 2/
g" (Х1 + Х2 + хз + Х1 + хг + Хд) =
= ~ (*1 + *2 + Хд) = fs,
Значит, функция f = x1 слишком проста для того, чтобы получить полностью
антисимметричную функцию. Она не содержит полностью антисимметричной
составляющей, которую можно было бы спроектировать. Видно также, что при
я> 2 нельзя написать E = S-|-A. Поэтому для разложения произвольной
функции при ""> 2 необходимо в дополнение к операторам S и А ввести
другие операторы симметризации. Иначе говоря, при н> 2 тривиальное и
антисимметричное представления не исчерпывают всех возможных неприводимых
представлений.
§ 5. ТАБЛИЦА ХАРАКТЕРОВ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
В § 3 мы показали, что при любом числе п классы сопряженных элементов
группы перестановок определяются разбиениями числа п. В силу общего
результата гл. 4, § 13 число неприводимых представлений группы совпадает
с числом классов сопряженных элементов. Поэтому число неприводимых
представлений группы &п равно числу разбиений [пхПд...] числа п. При п -
2 существуют два неприводимых представления, соответствующих разбиениям
[2] и [И], при п = 3 существуют три неприводимых представления,
соответствующих разбиениям [3], [21] и [111], а при п = 4 существуют пять
неприводимых представлений.
В гл. 4, § 10 мы уже приводили таблицу характеров группы Вернее, мы
приводили таблицу характеров
Группа перестановок <Tfn
217
группы D3, но группы D3 и е?я изоморфны (гл. 2, § 3). Методами,
изложенными в гл. 4, § 15, можно также построить таблицы характеров при
других небольших числах п (задача 17.2). Но сейчас мы рассмотрим общий
метод построения таблиц характеров. Он также облегчит нам понимание
свойств базисных векторов неприводимых представлений. Мы убедимся в том,
что не только число неприводимых представлений равно числу разбиений, но
и каждому неприводимому представлению можно естественным образом
сопоставить некоторое разбиение.
Рассмотрим п частиц, которые можно распределить по п одночастичным
состояниям ф(-. Тогда символ ср,•(&) означает, что частица k находится в
состоянии г. Каждому разбиению [и^...] числа п мы сопоставим функцию
Ф(["Л..-]) = Ti(1)Ti(2)-..T1("i) Ф2 ("! + 1)ф2(н1 + 2). ..
... ф2 (пх + и2) ф, + и2 +1) ... . (17.13)
Здесь первые п1 частиц находятся в состоянии фх, следующие и2 - в
состоянии ф2 и т. д. Построим теперь для каждого разбиения семейство из
и!/(и1!и2! ...) независимых функций РФ([и1п2 ...]), где Р-любая
перестановка частиц. [Существуют и! перестановок Р, но, учитывая, что
некоторые из них не меняют функцию (17.13), мы должны разделить это число
на rijri^l ... .] Таким семейством состояний определяется для каждого
разбиения векторное пространство L[n1n2 ..инвариантное относительно
группы перестановок, т. е. некоторое представление группы йГп. В общем
случае такие представления не являются неприводимыми, но их характеры
довольно легко вычислить. После этого можно вычислить характеры
неприводимых представлений путем вычитания, начиная с простого разбиения
[и]. В этом случае функция (17.13) инвариантна относительно любых
перестановок, т. е. соответствующее представление совпадает с тривиальным
представлением.
Вычислим характер, соответствующий перестановке Q в представлении,
порождаемом векторным пространством Lfttjttg...]. Мы должны
просуммировать диагональные матричные элементы оператора Q в этом
пространстве. Но в результате действия оператора Q на произвольный
базисный вектор РФ([пхп2...]) получается другой базисный вектор, так как
QP-это просто другая перестановка.
218
Глава 17
Поэтому в каждом столбце матрицы Q имеется -)-1, а все остальные элементы
равны нулю. Вклад в характер будут давать лишь диагональные элементы
матрицы, равные + 1. Иначе говоря, всякий базисный вектор, не меняющийся
при перестановке Q, дает вклад -j-1. Следовательно, характер,
соответствующий перестановке Q, равен числу базисных векторов типа
РФ([и1"2...]), не меняющихся при перестановке Q. Достаточно, конечно,
выбрать лишь одну перестановку Q из каждого класса сопряженных элементов.
Характер тождественной перестановки Е равен просто размерности
пМп^.п^.... пространства L(["jHj. ..]). Если Q-это простая перестановка
Р12, то характер равен числу базисных векторов, для которых частицы 1 и 2
