Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
перестановок в любом неприводимом представлении. Правда, вывод этих
правил довольно сложен.
Отметим, что в силу изоморфизма между группой of 3 и точечной группой D3
(гл. 2, § 3) приведенные выше матрицы совпадают с матрицами из табл. 4.1,
отличаясь от них лишь порядком базисных векторов.
§ 10. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Из любых двух представлений Т<">) и Т("г) мы можем построить
представление, равное прямому произведению представлений Т<"П0т<а2>. Его
размерность равна произведению размерностей представлений Т<"П и рад. в
общем случае это понятие определено в гл. 4, § 17. Конечно, такое
определение применимо и к группе ofn. Разложение произведения
представлений в сумму неприводимых представлений мы рассматривали на
основании таблицы характеров [формула (4.45)]. Так, например, табл. 17.1
дает нам: Т[211 0 Т[211 = Т[з10 Т[2]! 0 Т[111].
Имеются два важных примера таких произведений. Рассмотрим сначала
произведение Т("> 0 угш -.л любого неприводимого представления на
полностью антисимметричное представление. Так как представление одно-
мерно, произведение представлений имеет ту же размерность, что и
представление Т(а). Более того, если %ра> - характер представления Т(а)
на перестановке из класса %>р
228
Глава 17
сопряженных элементов группы, то характер произведения представлений на
этой перестановке равен просто я//ра)> гДе пР-четность элементов из
класса '6р. Здесь мы воспользовались тем, что, согласно формуле (17.10),
четность Яр есть характер представления В силу
критерия (4.29) из неприводимости представления Т(а> следует
неприводимость произведения представлений, так как я^ = 1. Значит,
Т<а,0 ТМИ...] =,!(">, Х("=яд№, (17.20)
где а-индекс другого неприводимого представления группы if п. Например,
если а = [и], то а= [111...], т. е. два представления Т(а> и Т<а)
получаются одно из другого путем замены в схеме Юнга строк на столбцы.
Просматривая табл. 17.1, мы приходим к тому же выводу, например, при а =
[31] и а = [211]. Можно доказать, что и в общем случае схемы Юнга а и а
получаются одна из другой путем замены строк на столбцы, иначе говоря,
путем отражения относительно диагонали, выходящей из левого верхнего угла
схемы под углом 45°. Представление Т<"> называется сопряженным или
ассоциированным представлением представления Т<а>. Некоторые
представления, такие, как Т[21) и TI2?J, называются самосопряженными.
Характер самосопряженного представления должен быть равен нулю на классах
сопряженных элементов с отрицательной четностью. Это легко прове-р ить по
табл. 17.1.
Рассмотрим теперь разложение
Т<"-> (g) Т<Р) = 2>VT<V; (17.21)
v
произведения двух неприводимых представлений. Вычислим два довольно
специальных коэффициента ту, а именно коэффициенты т!п] и Подставляя
известные харак-
теры 1 и яр представлений Ты и Tfln-] в общую формулу (4.45) и применяя
соотношения (17.20), получаем
Р П7 221
= { "О-1 2^яд))a>xf = (n!)-12cд),">x^f,.
Р Р
Группа перестановок ?fn
229
Наконец, с учетом соотношения ортогональности характеров [формула
(4.256)] и действительности характеров группы & п выражения (17.22) можно
привести к виду
mtB] = 6aif3, тГ1ц|...з = б- (17.23)
Смысл этого результата состоит в том, что полностью симметричное
представление входит лишь в произведение двух одинаковых или по крайней
мере эквивалентных (гл. 4, § 6) неприводимых представлений. Точно так же
полностью антисимметричное представление входит лишь в произведения
представлений и их сопряженных. Последний результат мы уже использовали
при построении антисимметричных волновых функций в задачах атомной и
ядерной физики (гл. 8, § 6, п. Г; гл. 12). Например, в гл. 8 при описании
атомной структуры орбитальное состояние с симметрией а должно было
объединяться со спиновым состоянием с симметрией ос. Кроме того, схемы
Юнга а могут [содержать не более двух строк, так как спин электрона s
равен 1/2 и для электрона возможны лишь два спиновых состояния. Поэтому
схемы Юнга a для орбитальной части должны содержать не более двух
столбцов. Связь между полным спином 5 и схемой Юнга a рассматривается в
гл. 18, § 10. В результате получается соотношение S = 1/2(n1-л2), где п1
и п2-длины двух строк схемы ос.
Чтобы действительно получить такие полностью симметричные или
антисимметричные функции из произведений векторов, нужно, конечно, следуя
общей методике гл. 4, § 17, просуммировать произведения различных
базисных векторов двух представлений с соответствующими коэффициентами
Клебша-Гордана. Эти коэффициенты легко вычисляются (задача 17.6).
§ 11. ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
В этом и следующих параграфах мы рассмотрим новое произведение двух
представлений, называемое внешним произведением. Из представления Т(")
группы аГп и представления Т("'> группы *fn' мы образуем представление^!
группы dfn+n'- В физике такие произведения нужны для
230
Глава 17
построения волновых функций системы из п-\~п' частиц на основании
