Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
находятся в одинаковых состояниях: либо в состоянии фх, либо в состоянии
ф3. это число можно найти, подсчитав, сколькими способами можно
расположить оставшиеся п - 2 частиц; оно будет равно сумме
---------------1---------------------j_ .. (17 14)
(ях -2)!я2!я3! ... ' ях! ("2 - 2)!я3!... ' ' ' '
Если Q - это цикл длиной I, то подобные рассуждения дают для характера
перестановки Q значение
(п~1У-___________I__________("-0!_I /J7 151
(Щ - /)!я2!я3! ... ях! (п2 - /)!л3!... ' '
Если же Q - произведение циклов, то нужно учитывать все возможные
распределения циклов по состояниям, причем в каждом состоянии допускается
любое число полных циклов. Можно вывести громоздкую общую формулу, но мы
не будем здесь приводить ее. Из сказанного ранее следует, что характер
будет равен нулю, если числа разбиения о,- недостаточно велики, чтобы
вместить в каком-либо порядке циклы /,• перестановки Q. Этим объясняется
наличие треугольных блоков, состоящих из нулей, в приводимых ниже
таблицах.
Применяя эти результаты к вычислению характеров для перестановки Q,
действующей в пространствах L([nхп2. ..]) при н^4, приходим к табл. 17.1.
Характер мы обозначаем символом vpl"""!-], а классы сопряженных элементов
группы &п-через (/х/2...), где -длины циклов любой перестановки из
данного класса сопряжен-
Группа перестановок rfn
219
(11) (2)
1 1 2 0
х1-1 1 1
х|11] 1 -1
<^3 (111) (21) (3)
1 1 1
ip21J 3 1 0
ipuu 6 0 0
Таблица 17.1
of 4 (1111) (211) (22) (31) (1)
грн 1 1 1 1 1
4 2 0 1 0
V 6 2 2 0 0
ipzllJ 12 2 0 0 0
гршч 24 0 0 0 0
x[4i 1 1 1 1 1
Л/[ 31] 3 1 - 1 0 -1
X[22J 2 0 2 -1 0
x[211J 3 - 1 - 1 0 1
jlUHl 1 -1 1 1 -1
XI3J 1 1 1
X1211 2 0 -1
X[lni 1 -1 1
ных элементов. Вычислив характеры характеры
X неприводимых представлений можно найти следующим образом. Прежде всего,
очевидно, что *|4"1 есть характер неприводимого представления (оно
одномерно). Обозначим этот характер через %м. Перейдем теперь ко второй
строке и рассмотрим характер 1. В. Методами, изложенными в гл. 4, § 11,
мы можем показать, что в разложении характера грС'1-1 > Ч характер х[п]
встречается один раз, причем, согласно критерию (4.29), оставшийся
характер отвечает неприводимому представлению. Этот оставшийся характер
обозначим через Ч. Продвигаясь
таким образом вниз таблицы, мы на каждом шагу обнаруживаем, что характер
- ] разлагается на сумму
неприводимых характеров, вычисленных ранее, и еще одного характера, тоже
неприводимого представления. Методами гл. 4, § 11 можно установить,
сколько раз
220
Глава 17
каждый из вычисленных ранее характеров входит в разложение, и показать,
что оставшийся характер неприводим. Оставшийся характер обозначим
символом --•]. Таким образом, каждому разбиению мы сопоставили
неприводимый характер. Результаты такого анализа характеров при п О 4
отражены в табл. 17.1. Интересно, что ф[111 •••! - это характер
регулярного представления (гл. 4, § 13), которое содержит каждое
неприводимое представление с кратностью, равной размерности данного
представления. Продвижение вниз таблицы соответствует введению все
большего числа базисных функций в выражении (17.13) и, следовательно,
большему простору для антисимметрии. Наконец, в последней строке число
функций ф" совпадает с числом частиц, и можно построить любой тип
симметрии, включая полностью антисимметричное представление %[1П"4, о
котором говорилось в § 4.
§ 6. СХЕМЫ ЮНГА
Хотя мы и не приводили полного доказательства, в § 5 мы показали, что
неприводимые представления группы afn соответствуют разбиениям [п^...]
числа п. Для разбиений часто оказывается более удобным следующее
наглядное обозначение. Для каждого разбиения строится схема из п
квадратиков, п1 из которых находятся в первой строке, п2-во второй строке
и т. д. Левые концы всех строк лежат на одной вертикальной прямой. Такая
схема носит имя математика А. Юнга. Ниже в качестве примера приведены
схемы Юнга, соответствующие пяти разбиениям числа п = 4:
[+] . [31] [22] [211] [ПИ]
_
Далее, согласно результатам § 5, каждому неприводимому представлению
группы аРп сопоставляется схема Юнга, составленная из п квадратов. Хотя
на первый взгляд такое об означение может показаться не очень компактным,
Группа перестановок
221
в § 8 мы убедимся в том, что с его помощью можно характеризовать не
только неприводимые представления группы "Уп, но и базисные векторы
представлений.
§ 7. ОГРАНИЧЕНИЕ СГРУППЫ ПОДГРУППУ ifn-X
Рассмотрим группу ^л_х [перестановок объектов^, 2, ... , п-1, которые
оставляют объект п на месте. Очевидно, что это подгруппа группы ifп.
Поэтому любое неприводимое представление группы if п будет представлением
группы ifn^lt хотя и не обязательно неприводимым по отношению к группе
ifn^1. Следовательно, возникает вопрос, какие неприводимые представления
группы &п-1 будут входить в разложение неприводимого представления группы
if а. Ответ на этот вопрос дается таблицей характеров.
Обозначим Т(ал) неприводимое представление группы if ", соответствующее
