Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
волновых Функций систем из п и п' частиц, но мы не будем приводить
примеров. С .математической точки зрения интересна связь между внешним
произведением представлений групп перестановок и обычным произведением
представлений унитарных групп. Этот вопрос рассматривается в гл. 18.
Рассмотрим произведения вида
/,• (1, 2, n)gj{n+\, п + 2 п + п'), (17.24)
где функции /,• преобразуются по некоторому неприводимому представлению
Т("> группы if п, действующей на частицы 1, ..., п, а функции gj- по
некоторому представлению Т(а/) группы ifn>, действующей на частицы и-(*
1, ..., п + п . Множество произведений (17.24), где функции /; пробегают
все семейство sa базисных векторов представления Т<"), а функции gj - все
семейство sa< базисных векторов представления не образует про-
странства, инвариантного относительно группы ifn+n'-Если же разрешить
всевозможные перестановки между частицами в функциях /ив функциях g, то
такое расширенное пространство будет инвариантным. Поскольку существует
(п + п')\/п\ п'\ способов выбора п частиц из ("-}-"') частиц, размерность
расширенного пространства равна
sasa,(n + n')\ln\n'\. (17.25)
В [расширенном пространстве действует представление Т группы Of п+п',
которое, вообще говоря, не является неприводимым. Представление Т группы
ifn+n' называется "внешним произведением" представления Т("> группы ifп
на представление Т<а'> группы ifn'- Оно обозначается символом Т = Т(">
Мы столкнулись с интересной зада-
чей: по заданным неприводимым представлениям с индексами а и а', которые
равны разбиениям пип' частиц, нужно найти все возможные неприводимые
представления группы if п+п', входящие в разложение представления Т.
Рассмотрим сначала несколько простых примеров.
| у Если п = п' = 1, то размерность представления Т равна двум. Базисными
векторами представления будут функции /(l)g(2) и /(2)g-(l). Рассматривая
симметричную и антисимметричную линейные комбинации этих функ-
Группа перестановок ?fn
231
ций, мы получим разложение нашего двумерного представления на
неприводимые представления группы 2. Пользуясь схемами Юнга, это можно
записать в виде
имеет три базисных вектора. Если мы в качестве симметричной двухчастичной
функции /(1, 2) из формулы
(17.24) возьмем функцию ф(1)ф(2), то базисные векторы можно выбрать в
виде ф (1) ф (2) g (3), ф (1) ф (3) g (2) и ф (2) ф (3)g'(l). Это
семейство функций совпадает с семейством, порождаемым функцией Ф([21])
[формула (17.13)]. В табл. 17.1, а также в § 9 мы показали, как это
трехмерное пространство разлагается на подпространство, порождаемое одним
симметричным вектором, и на подпространство, порождаемое парой векторов с
симметрией [21]. Итак,
Этот результат можно получить и другим способом, который легко
распространяется на общий случай. Разложим произведение ф (1) ф (2) g (3)
по компонентам, соответствующим таблицам схем Юнга с и = 3. В силу
симметрии по 1 и 2 в разложение могут входить лишь компоненты,
соответствующие двум таблицам
в которых числа 1 и 2 находятся' в одной строке. Если теперь мы образуем
всевозможные функции Рф (1) ф (2) g (3), где перестановки Р пробегают всю
группу ofs, то единственной новой компонентой будет оставшаяся базисная
функция
При п = 2, "' = 1 произведение
ш (r)о
(c)
(17.26)
232
Глава 17
для представления [21]. Следовательно, мы приходим к равенству (17.26),
т. е. внешнее произведение содержит все неприводимые представления группы
afs, которые можно образовать путем добавления одного квадрата к
первоначальной схеме
ш
Все сказанное можно обобщить на случай разложения Т("> (r) ? = 2jT(a'),3
(17.27)
а'
где суммирование проводится по схемам Юнга а', которые получаются из
схемы а путем добавления одного квадрата. Можно даже вывести правила для
нахождения коэффициентов т ((3; а, а') в общем случае:
Т = Т<"> (r) Т<"') = 2т(Р; а')Т(р), (17.28)
6j
где (3 - разбиение числа п + п'. Мы приведем эти правила без
доказательства.
1. Впишем букву а в каждый квадрат первой строки схемы а', букву b в
каждый квадрат второй строки и т. д.
2. Добавим заполненные буквами квадраты схемы а' к схеме Юнга а следующим
образом: 1) сначала добавляются квадраты с буквами а, затем квадраты с
буквами Ь, затем квадраты с буквами с и т. д.; 2) на каждом шаге должна
получаться схема Юнга; 3) в одном столбце не должно быть двух одинаковых
букв; 4) если на полученной схеме последовательно пересчитывать
добавленные квадраты с буквами, начиная с первой строки и двигаясь справа
налево, то на каждом этапе число квадратов с буквой b не должно превышать
числа квадратов с буквой а, а число квадратов с буквой с не должно
превышать числа квадратов с буквой b и т. д.
3. Представления, отвечающие схемам Юнга (3, которые получаются в
результате добавления таким способом всех квадратов с буквами, будут
входить в сумму (17.28) с ненулевыми коэффициентами. Если по изложенным
правилам некоторая схема (3 может быть построена р разными способами, то
