Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
jk-\-kt-\-kz
I kx-\-iky
(15.135)
Эти два решения выбраны таким образом, что в нерелятивистском пределе к -
0 они переходят в решения (15.134). Смысл нормировочного множителя мы
установим позже. Вспоминая, что четырехкомпонентная структура отвечает
представлению L<*/*• °>0L(0' 1/")) мы видим, что эти предельные состояния
| k0 V* ± 1/2> соответствуют двум спиновым состояниям ms-dz1U покоящейся
частицы. Можно также показать (задача 15.14), что волновые функции
(15.135) получаются из решений для покоящейся
152
Рлава 15
частицы (15.134) действием буста Q [Ь (к)] как векторы пространства
представления Р(А:> */") [формула (15.54)]. В заключение подчеркнем, ^
что, хотя мы имеем дело с пространством четырехкомпонентных функций,
частице с данным значением к отвечают лишь два независимых состояния
(15.135) и любое состояние частицы можно представить в виде линейной
комбинации этих решений. Это согласуется со структурой представлений
группы Пуанкаре с s = 1/a, где, как мы видели, при данном значении k
имеется два состояния с ms=±1U-
Ясно, что выбор базиса в пространстве четырехкомпонентных волновых
функций является делом соглашения. Наш выбор задан формулой (15.128), т.
е. условием, что две первые компоненты преобразуются по представлению
L(1/2' 0). Мы видели, что в этом базисе даже в нерелятивистском пределе
происходит смешивание компонент [формула (15.134)]. При анализе
нерелятивистского предела удобнее, очевидно, пользоваться базисом, в
котором состояния (15.134) даются векторами-столбцами (1, 0, 0, 0) и (0,
1, 0, 0). В таком базисе первые две компоненты называют "большими", а
вторые две-"малыми". Эти названия связаны с поведением компонент волновой
функции в нерелятивистском пределе, когда отношение j k \lk мало. Мы этим
базисом пользоваться не будем.
Решения (15.135) можно было бы получить непосредственно из состояний
(15.125) и аналогичных состояний, построенных на основе представления
L(0' */*>, образовав состояния с определенной четностью. Если мы
обозначим через |кп>' два состояния, преобразующиеся по представлению
Р1*'0> (g) L<0- 1/2), то решения (15.135) по аналогии с решениями
(15.125) можно записать в виде
к у ms) = Б 0) (О) I > + и°,";/г) (О) I к">'} 2-1/*.
П
(15.135а)
В этом можно убедиться, воспользовавшись выражением L<'/2. (Q) = {(/г
+ kt) + 2к • s}/{2k {k -f- kt)}1!* и равенством
!_(<>• */s) [Q (k)] = L(1/2. °> [Q (Ik)], следующим из формулы (15.58) и
результатов § 2, п. Д.
Пространство и время
153
Теперь мы покажем, как в пространстве четырехкомпонентных волновых
функций определить пуанкаре-инва-риантное скалярное произведение. Точнее,
мы построим скалярное произведение, относительно которого преобразования,
индуцированные в пространстве волновых функций элементами группы
Пуанкаре, будут унитарными. Такое скалярное произведение пригодно для
вычисления значений физических наблюдаемых. По аналогии с выражением
(15.78) запишем произвольную волновую функцию в виде
|Ф> = 2Ьа(к)|ка>^к. (15.136)
а
Но скалярное произведение определим теперь выражением <ф|ф> = 2 С
ФрООМраФаФФ'1^, (15.137)
а, р J
отличающимся от формулы (15.79) наличием матрицы yt. Эта матрица нужна
для того, чтобы скалярное произведение было инвариантным относительно
преобразований (15.127). Как мы уже отмечали ранее, матрица М, входящая в
эти преобразования, не унитарна. Поэтому без матрицы yf наше [скалярное
произведение было 'бы не инвариантным. Для доказательства инвариантности
скалярного произведения (15.137) нужно установить справедливость
равенства M+yfM = yt, которое с учетом формул (15.128) и (15.129)
сводится к равенству (L<0' V*>) += =(L<'/2. °>) -i. Это равенство
справедливо как для чистых вращений, так и для чистых бустов, а
следовательно, и для всех преобразований Лоренца. Набор четырех функций
Фа(к) = М(к)Ыра (15.138)
Р
называется иногда сопряженным к набору фа(к). Очевидно, что при таком
обозначении упрощается запись скалярного произведения (15.137).
Альтернативное, хотя и совершенно эквивалентное первому, определение
скалярного произведения получается из (15.137) с помощью уравнения Дирака
(15.131):
<ф|Ф> = Е \ Фа (к) (к) kky'1 dk. (15.139)
сс J
154
Глава 15
Если в качестве состояния | г|з> взять решение в виде плоской волны | к
х/а 1/а>" заданное соотношением (15.135), то коэффициенты фа(к) будут
такими:
\Мк) = (/г + kt+ kz) ktb (к - k)-i-{?(/e-f/г,)}-1/*,
(к) = {kx + ik ) kt8(k - k)-y{k(k-\-kt)} ~
Фз (к) = (k + kt-kz) kt8 (k - k) -g- {k (k + kt) }-*/",
(к) = (- kx-iky)kt8 [k - k)~{k (k-\-kt)} -'/e .
Аналогичные выражения получаются в случае (ф> = |к1/2-1/2у. Как нетрудно
убедиться, при нашем определении скалярного произведения эти решения
взаимно-ортогональны, а их нормировочное соотношение имеет вид
k-jtn's^ = kfi (к'-к) 6т т>. [(15.140)
Что же касается пространственной инверсии и четности, то при
четырехкомпонентном описании можно воспроизвести результаты § 5. Для
этого запишем оператор инверсии в виде Т(1) = Твнутр(1)ТЛ1)ТД1), где
