Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(W + ?/nP)|\|)> = 0 с т-\. При построении 3x3-матриц, входящих в
выражение для оператора W, мы должны использовать теперь матрицы X и Y в
представлении L(1, °>. Но поскольку в этом представлении справедливо
равенство В = 0 (§ 2, п. Г), из формулы (15.33) следует, что Y = iX. В
свою очередь матрицы инфините-зимальных вращений X в представлении L(I'
0) совпадают с такими же матрицами в представлении D(1) группы М3. Таким
образом, матрицы X даются формулами (7.24), откуда получаются также и
выражения для матриц Y и W. Имеются два стандартных базиса представления
D(1). Мы предпочитаем использовать декартов базис из формулы (8.15). Как
и ранее, система четырех уравнений (W + tP)| ф> = 0 является до некоторой
степени избыточной. После несложных преобразований эти уравнения с
помощью векторных обозначений можно записать в компактном виде
I т|7> = - Рх|Ф>, (15.149)
р. | -ф> = 0, (15.150)
где трехкомпонентная волновая функция представлена в виде вектора |ф>. В
конфигурационном пространстве с учетом явного вида дифференциального
оператора Р получаем
rotl'4" = r|l'4,>'
div | ф> = 0.
Если взять базис из плоских волн, так что при фиксированном значении к
решение имеет вид
Пространство и время
161
то после замены Р==-jk уравнения (15.149) и (15.150) становятся
матричными уравнениями для коэффициентов а, b и с. Выбрав для
определенности вектор к, направленный вдоль оси z, так что kz = kt, мы
увидим, что структура решения | ф> определяется вектором
Поскольку этот вектор ортогонален направлению движения к, решение
называют "поперечным". Это, конечно, общее свойство, следующее
непосредственно из уравнения (15.150). Как и следовало ожидать в случае
т= 1, наше решение описывает состояние с положительной спиральностью, т.
е. со спином Л,Направленным в направлении движения частицы.
Чтобы перейти к спиральности т - -1, достаточно лишь простой замены
знака. В природе фотоны (частицы, ответственные за электромагнитное
взаимодействие) имеют нулевую массу и спиральность т=±1. Следовательно,
их движение описывается уравнениями Максвелла, приведенными выше (см.
также гл. 16, § 3, п. Ж).
ЛИТЕРАТУРА
Подробное изложение специальной теории относительности и ссылки на
оригинальные работы можно найти в книге:
1. Mulrhead Н., The Special Theory of Relativity, Macmillan, London,
1973.
Строгая теория групп Лоренца и Пуанкаре весьма сложна; для дальнейшего
чтения мы рекомендуем книгу Бернера в литературе к гл. 4 и статью Т.
Ньютона в книге:
2. Kahan Т., Theory of Groups in Classical and Quantum Physics, Oliver
and Boyd, Edinburgh, 1965,
а также имеющиеся там ссылки. Оригинальные работы Вигнера включены в
книгу:
3. Dyson F. J., Symmetry Groups in Nuclear and Particle Physics,
Benjamin, New York, 1966.
Изложение применений группы Пуанкаре, включающее подробное обсуждение
фазовых множителей, дано в книге:
4. Halpern F. R., Special Relativity land Quantum Mechanics, Prentice
Hall, EnglewoodJCliffs, New York, 1968.
r Волновые уравнения обсуждаются в книге:
Р*4*- 5. Omnes R., Introduction to Particle Physics, Wiley-Interscience,
London, 1969.
162
Глава 15
Удобная сводка результатов, касающихся групп Лоренца, Пуанкаре и их
представлений, дана в книге:
6. Lomont J. 5., Applications of Finite Groups, Academic Press, New York,
1959.
Описание представлений группы Лоренца можно найти в книгах1):
7. Гельфанд И. М., Минлсс. Р. А., Шапиро 3. Я- Представления группы
вращения и группы Лоренца.-М.: Физматгиз, 1958.
8. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца.- М.: Физматгиз,
1958.
ЗАДАЧИ
15.1. Записав операторы сдвига и вращения в виде Р (р)= 1 -)-?Р*+ + Т1Р"
+ ЕР" и R (а)= 1 при малых значениях пара-
ч
метров р и а, с учетом формул (15.5) и (7.22) выведите перестановочные
соотношения (15.15). (Нужно удерживать лишь члены первого порядка по а и
р.)
15.2. Исходя из определения (15.23) матриц преобразований Лоренца,
покажите, что последние образуют группу.
15.3. Исходя из формулы" (15.26), покажите, что матричный элемент Qyt
буста равен -
15.4. Покажите, что 'если ct > г, то не существует собственного
преобразования "Лоренца, [переводящего точку (0, 0, z, ct) в точку (0, 0,
z, -ct).
15.5. Выпишите матрицы Аг и Вг в представлении L( ^ используя базис
Выведите выражения для матриц Хг и Уг и покажите, что при
подходящем выборе базиса они|согласуются с формулой (15.30).
15.6. Покажите, что если оператор трансляции Р (е) [формула (15.48)]
выразить через компоненты е,- вектора е относительно нового базиса'
г^е^то соответствующие инфинитезимальные операторы Р,- будут связаны с
исходными операторами Р,-обычным соотношением Р/= ^ (L_1),-yPy, т. е.
операторы Р,- преобразуют-
*1
ся как компоненты четырех мерного вектора. [Воспользуйтесь формулой
(15.23) и выражением для величин е,-, приведенным перед ней.]
15.7. Исходя из формулы (15.53) для бесконечно малых а, Ь и е, формулы
'(15.48), а также выражения г(15.30) для матрицы A = L - 1, выведите
