Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 53

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 138 >> Следующая

не унитарно (напомним, что представление L(7s. °> группы Лоренца не
унитарно; §2, п. Д). Унитарность можно восстановить, если путем
преобразования (15.125) перейти к исходному базису [ k1/2m5> пространства
представления 7>% но при этом мы потеряем факторизацию. Во-вторых,
пространство двухкомпонентных волновых функций не инвариантно
относительно пространственной инверсии (напомним, что, как мы показали в
§ 3, пространственная инверсия переводит векторы, преобразующиеся по
представлению 1_('/2. о)( в векторы, преобразующиеся по представлению
|_(°' 7г)? и из этих двух представлений группы 3? можно построить одно
неприводимое представление LW* °)0 0L<0' 7s) группы 22%). Таким образом,
двухкомпонентное описание непригодно для частиц, имеющих определенную
четность. Покажем теперь, что от обеих указанных трудностей свободно
четырехкомпонентное описание, основанное на произведении представлений
Р(й- о)01_<7=- о)0цо, 7s). Переход от четырех спиновых состояний к двум,
соответствующим представлению P(ft> 7")> осуществляется путем решения
уравнения, называемого уравнением ^Дирака.
Пространство и время
149
Действуя так же, как и в предыдущем случае, введем базисные векторы | ка>
пространства представления P(ft'0)(5<)(U'/*' O)0L(0' '/г), где индекс
а=1, 2, 3,4 нумерует компоненты, соответствующие второму сомножителю.
Преобразование группы Пуанкаре принимает в этом случае вид
T(8,L)|ka> = exp(tk'-8) 2 М&а (L) | к'Р>, (15.127)
|3 = 1
записанной в блочном виде, а L*1^ °) и т. д.-матрицы 2x2. Ясно, что
пространство четырехкомпонентных волновых функций слишком велико для
представления р(*. "/2); на самом деле P{k' 0)(><)(L<1/2' °)0L<0'
1/г)=2Р<&' 1П). Предыдущее наше двухкомпонентное описание было одним из
способов выделения единственного представления р(*. */2)) но возможны и
другие способы смешивания пространств представлений L(0' V") и L<'/2. °К
Чтобы выяснить эти возможности, определим сначала некоторые операторы,
связывающие между собой эти два двумерных пространства. Из формулы
разложения произведения представлений группы 3! на неприводимые [формула
(15.37)] следует, что такие операторы должны преобразовываться по
представлению |_(1^1/2) группы S? и, следовательно, образовывать
четырехмерный вектор, который мы обозначим через у. Нетрудно убедиться
(задача 15.13), что удовлетворяющий этим требованиям набор операторов
задается четырьмя 4 х 4-матрицами
где 1 есть единичная матрица размера 2x2, а s(j-спиновые матрицы. Теперь
мы можем построить пуанкаре-инвариантный оператор у-Р и диагонализовать
его. Чтобы найти собственные значения этого оператора, заметим,
4
где М$а-матричные элементы 4 X 4-матрицы
/U'A. о)
м=(о
(15.128)
Х(У/У/ + У/У/)-
150
Глава 15
Но из определения (15.129) и свойств спиновых матриц следует, что у-
матрицы удовлетворяют антиперестановоч-ным соотношениям
Y/Y/+V/Y/ = 2g/y. (15.130)
Поэтому справедливо равенство (у-Р)2 = Р-Р, так что
в представлении P(ft'o)0о)0|_(°>о")) оператор (у-Р)2 с точностью до
множителя - k2 равен единичному оператору. Следовательно, возможные
собственные значения оператора у-Р равны ±ik, и если мы'будем
классифицировать базисные векторы пространства представления р<?, о)0
(l<72. о)0 l<". V*)) в соответствии с этими собственными значениями, то
пространство представления распадется на два инвариантных
подпространства, в каждом из которых действует представление Р(/г- !^).
Таким образом, путем ограничения наших волновых функций одним из этих
подпространств мы получим базис представления Р<*- '/г). Какое именно из
этих двух подпространств мы выберем, несущественно. Если мы выберем
подпространство, соответствующее собственному значению - ik, то
ограничение, накладываемое на волновую функцию |ф>, примет вид
[у-Р-И&]|ф> = 0. (15.131)
Данное уравнение называют уравнением Дирака. Если мы выразим величину k
через массу М (§ 7, п. А) как k - cM/h и возьмем оператор Р в
дифференциальной форме Р = (-у, (1/с) d/dt), то оно примет более
привычный вид
jib
У* + Мс2] [ф> = 0.
Умножая обе части этого уравнения на матрицу yf и
учитывая, что у2=1, получаем
i%-j- theyty ¦ у-Me2yt |ф> = 0. (15.132)
Далее мы будем рассматривать уравнение Дирака в форме (15.131).
Чтобы найти вид решений уравнения Дирака и показать, что при
данном к имеются два, а не четыре неза-
Пространство и время
151
висимых решения, заметим, что в случае покоящейся частицы Р |ф>-=0, Pt |
ф> = - ik [ ф> и уравнение (15.131) принимает вид
(?f -1)|41> = 0. (15.133)
Из определения (15.129) матрицы yt нетрудно видеть, что любое решение
этого уравнения линейно выражается через два следующих решения:
'1'
'4)=2-v. |S">, ?4_|)_2-'.
(15.134)
где |ku> обозначает плоскую волну (15.123) с к = 0. Для произвольного
вектора к матричное уравнение, отвечающее уравнению (15.133), получается
из формул (15.129) и (15.131) с учетом равенства Р|ф> =- ?к|ф>. Решения
при произвольном к даются линейной комбинацией двух решений вида
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed