Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 55

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 138 >> Следующая

последние два сомножителя соответствуют произведению представлений Р<*.
0)0 (L(•/,. ">(r)|_<о. */.)), атвнутр(1) - внутренняя четность. Как мы
видели ранее, оператор Tk (I) просто изменяет направление
пространственной части вектора к на противоположное. Из результатов же §
3 следует, что матрица оператора ТД1) совпадает с yt. Таким образом, для
частицы, обладающей четностью я - ± 1, имеем
Т (I) | ка> - я /S (yf)pa 11к(3>. (15.141)
Р
Легко показать (задача 15.15), что оператор Т (I) коммутирует с
оператором у-Р; поэтому пространственная инверсия переводит решения
уравнения Дирака в его же решения.
Включение в рассмотрение электромагнитного поля достигается, как и ранее
(§ 8, п. В), заменой р на р-|-еА/с, где, как обычно, р = i/гР.
Пространство и время
155
В заключение данного пункта, посвященного уравнению Дирака, подчеркнем,
что в четырехкомпонентном подходе преобразования группы Пуанкаре
представляются в виде произведения орбитальной и спиновой частей.
Соответственно этому инфинитезимальные операторы имеют вид X = X, + XS, Y
= Y, + Ys, где Хг, Уг-дифференциальные операторы, аХ, и Ys - 4 X 4-
матрицы. Из структуры матрицы М (15.128) и выражений для
инфинитезимальных операторов группы Лоренца (§ 2, п. Г) следует, что
(Х,)*-Аж + Вя = - iQ* °^ = ~ууу2 и т. д.,(15.142)
(Ys)x=-f(Ax-Ba.)=-Q* = - -^YtY* ит. д.
Чтобы найти Хг и Уг, нам необходим явный вид оператора, осуществляющего
преобразование от | к> к |Lk>, когда преобразование Лоренца L близко к
тождественному. При этих вычислениях мы можем не принимать во внимание
индекс а. Тогда для произвольного состояния |ф> на основании выражения
(15.136) получаем, что преобразованное состояние | ф'> имеет вид
| ф'> = $ ф (к) | Lk> kj1 dk = J Ф (L-1k) | к> kj1 dk.
При выводе последнего равенства мы произвели замену переменных
интегрирования и учли инвариантность элемента объема (§ 4, п. Г). Таким
образом, функция ф(к), описывающая состояние | ф>, переходит при
преобразовании Лоренца в *(L-*k). Если мы положим, как в § 2, п. Г, L=
1+А, где Л-инфинитезимальный элемент, и разложим затем функцию ф(1-1к) в
ряд Тэйлора, то получим
(*l)x=- (kyJk~ - k^My) И Т- Ам
<Уг)х=(^щ + к,щ) и т. д.
Первый из этих операторов есть не что иное, как знакомый нам
инфинитезимальный оператор вращения (7.21), записанный в импульсном
представлении. Вторая формула дает соответствующее выражение для
инфинитезимальных бустов.
156
Главй 15
Д. Частицы нулевой массы со спином |mj = V2, уравнение Вейля
Теперь нашей задачей является построение факторизованной формы для
представления Р(0, т) группы Пуанкаре с \т\ = 1/2 (§ 4, п. Б и В). Для
этого естественно рассмотреть произведение представлений Р<°> °> и L(,/2'
0) (или L(0> 1/2>). Подчеркнем, что Р(0, 0)-не тривиальное представление,
а представление P(fe> 0)с? = 0, т.е. k=0, нок^О. Для определенности
рассмотрим представление Р(0, о)0 0L(O>y">, которое, как мы убедимся,
соответствует случаю т = -и описывает нейтрино. Так как в пространстве
представления Р(0, т) каждому значению к соответствует один базисный
вектор, а в пространстве представления р(°, °) 0цо,,/2>- два, эти два
представления, очевидно, не могут быть эквивалентными. Но мы постараемся
построить пространство первого представления из векторов пространства
второго. Если мы, как и в § 4, п. Б, обозначим базисные векторы
пространства представления р(°, т) через |кт>, а базисные векторы для
Р(0' °)0L<o,1/2> через | ка>0, где а =+V2, то, как мы покажем,
] k-V2> = 2 L{a-v/;) (R,yQ,) I ka>0, (15.143)
a
где (§4, п. Б) преобразование Лоренца RxyQz переводит вектор (0, 0, 1, 1)
в вектор к. Это выражение аналогично выражению (15.125) и непосредственно
обобщается на случай произвольного отрицательного т. При т- +V2 нужно
использовать представление U1/*' °). Причины этого будут изложены ниже.
Доказательство соотношения (15.143) аналогично доказательству соотношения
(15.125). Имеем
Т (е, L) |k--j^=exp (ik'-e) X
XL^JA/^Qr^xyOzl^' ~i)- (15-144)
Отсутствие суммирования в выражении (15.144) связано с тем, что элемент
группы (R^Q')-1 LR^Q^ принадлежит подгруппе Sz (§ 4, п. Б),
инфинитезимальные операторы которой даются выражениями (15.62): Х2, Хх-Y
, Xy-f-Yx. Но в представлении L(0> '/"> справедливо равенство Х = -iY,
Пространство и время
15?
так что Хх-Yy=zXx--iXy, a Xy + Yx - i(Xx-iXy). Но оба эти оператора
являются понижающими по отношению к величине т и поэтому не дают вклада
при т = -V2. Это приводит к тому, что ненулевой вклад дает лишь инфи-
нитезимальный оператор Х2 группы <§2. В результате выражение (15.144)
сводится к простому преобразованию (15.68) для вектора |к-72>-
Покажем теперь, как к результату (15.143) можно прийти, используя в
качестве условия для двухкомпонентных волновых функций некоторое волновое
уравнение. Напомним (§ 4), что представление Р<°> ш> характеризуется
уравнением [формула (15.76)] (W + i'mP) | ф> = О и, кроме того, W • W = Р
¦ Р = 0. Ясно, что представление р(°. °)0L<°> '/") удовлетворяет второй
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed