Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 52

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 138 >> Следующая

электромагнитным полем, заменив четырехмерный вектор энергии-импульса р =
(р, Е/с) вектором р + еА/с. Здесь А- четырехмерный вектор А = (А, ср),
описывающий электромагнитное поле, причем ср-обычный скалярный потенциал
(гл. 16, § 1, п. В). Следовательно, уравнение Клейна-Гордона
модифицируется путем замены d/dt на d/dt - iey/% и V на V -f- ieK/cfi.
146
Глава 15
Г. Группа Пуанкаре с s = Va* уравнение Дирака
Чтобы построить волновое уравнение в случае s=T= О" мы должны снова
обратиться к многокомпонентным волновым функциям, т. е. (на языке теории
групп) к построению произведения представлений. Например, рассматривая в
п. Б представления ЕЯk 1 > ± '/") группы ?3, мы фактически имели дело с
произведением представлений Ed ki • °)0 Е(°' '/") = е<1 к1 • так что
инфинитези-
мальные операторы представлялись в виде суммы дифференциальных
операторов, относящихся к представлению E(lki> "), и матричных (спиновых)
операторов, относящихся к представлению Мы установили, что это
произве-
дение представлений разлагается на неприводимые представления: оно равно
сумме ЕЯ k I • V") 0 ЕЯ k I ¦ -'/л. Теперь мы применим такой же метод для
описания представления Р<*> '/*> группы Пуанкаре и для построения
уравнения Дирака.
В случае s = V2 естественно "начать с произведения представлений вида
°>, где второй сомножи-
тель есть трансляционно-инвариантное представление, соответствующее
выбору к = 0 (область 6 в § 4, п. Б). Будучи трансляционно-инвариантным,
это представление является представлением группы Лоренца 3? (§ 2, п. Д).
(Выбор представления L(0- '/*> вместо L°> столь же естествен и приводит к
точно таким же результатам.) Базисные векторы пространства такого
произведения представлений обозначаются через | kn>, где переменная к
относится к представлению р(*-0), а индекс п =¦ ± V* относится к
компонентам вектора в пространстве представления о). Преобразования из
группы Пуанкаре в этом базисе имеют вид
Т (е, L) | k, n> = exp(tk'-e) 0) 1 (L) (15.124)
п'
где k' = Lk. Матричные элементы операторов представления °) можно
получить, исходя из матричных элементов операторов представления
заметив, что в пред-
ставлении и1/*- °> инфинитезимальные операторы имеют вид X = A-fB =- is и
Y = - i(А-В) = - s; мы пользуемся теми же обозначениями, что и в § 2, п.
Г, a s -
Пространство и время
147
обычные спиновые матрицы. Но сейчас нам такие детали не понадобятся.
Существенным для нас моментом в уравнении (15.124) является факторизация
в его правой части, при которой матрицы представления 0) не зависят от
вектора к. Эта ситуация отлична от той, с которой мы имели дело в § 4, п.
Б при рассмотрении представления p(fe'V2) в базисе J ка/2ms>. В таком
базисе, как следует из формулы (15.59), факторизация также имеется, но
вращение R' зависит от вектора к. Эта зависимость определяется
равенствами (15.60) и (15.61). На самом деле мы можем перейти от базиса
|кп> к базизу |kyams>, чем доказывается эквивалентность представлений
P(ft,0)@ 01_('/2. о) и р(*, V*). Соответствующее преобразование имеет вид
0) (Q) | kn>, (15.125)
п s
где Q-буст, определяемый формулой (15.58). Чтобы убедиться в
справедливости соотношения (15.125), заметим, что из него с учетом
выражения (15.124) и соотношения, обратного соотношению (15.125), следует
равенство
Т (в, L) | к У2т*> =
= exp (ik'-e) 2 [Lv, о) (L) L(V- e>(Q)lnniI | k'n> =
П
= ехр (ik'-e) V[L('/2, o)->/q')Lc/"o)(L) Lcv,. o) (Q)l , x
in' s ms
X I k' v2ms'>.
Но поскольку U'/г. 0)--представление группы, матрица в правой части
последнего равенства есть просто °> (Q'-1LQ) и из формулы (15.60)
следует, что она в точности равна °> (R') = D<'/2) (R'). Таким образом,
состояния, определенные соотношением (15.125), имеют правильные
трансформационные свойства (15.59).
Итак, базис |км> допускает простое двухкомпонентное описание частицы со
спином s = 1l2¦ Волновое уравнение в данном случае-это просто уравнение
Клейна - Г ордона
(?* + **)|Ч>> = 0 (15.126)
148
Глава 15
для двухкомпонентной волновой функции [ф>. Это уравнение обеспечивает
наличие в волновой функции, отвечающей произведению представлений,
множителя вида
(15.123), соответствующего представлению P<fti 0). Заметим, что волновое
уравнение (15.126) не содержит спиновых операторов и потому не
накладывает никаких условий на "направление" вектора | ф> в
двухкомпонентном пространстве.
Что же касается второго оператора Казимира W-W, то можно показать, что в
представлении Р <ft'0) (g) 0)
выполняется равенство W • W = 3/4Р • Р (задача 15.12). Этого и следовало
ожидать в представлении P(fti */"> на основании формулы (15.74). Однако в
присутствии электромагнитного поля замена р на р + еА/с в выражении для
W-W приводит к появлению в уравнении Клейна - Гордона нового члена,
описывающего взаимодействие электромагнитного поля со спином.
Рассмотренное двухкомпонентное описание частицы со спином s = 1/2
неудовлетворительно по двум причинам. Во-первых, преобразование (15.124)
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed