Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(15.119)
где, как обычно, диагональной считается матрица sz.
Спиновое гиромагнитное отношение
Теперь мы можем вывести значение gs = 2 для спинового g'-фактора
электрона, приведенное в гл. 8, § 4. Часто приходится сталкиваться с
утверждением, что данное значение g-фактора следует из уравнения Дирака,
но это не совсем верно. Конечно, это значение величины gs естественным
образом следует из уравнения Дирака, но столь же естественно оно следует
и из нерелятивистского уравнения (15.118). Уравнение свободного движения
частицы с зарядом -е в магнитном поле можно вывести в классической
механике, заменив в гамильтониане импульс р величиной р + еА/с, где А -
векторный потенциал электромагнитного поля. Если воспользоваться
приближением неквантованного электромагнитного поля, то же самое можно
сделать и в квантовой механике. Применительно к уравнению (15.118) при
/n=±V2
Уравнение (15.120) иногда называют уравнением Паули. В случае однородного
электромагнитного поля можно положить А = У2Вхг, где B = VxA- постоянный
вектор напряженности магнитного поля. Учитывая свойства спиновых матриц и
некоммутативность оператора V с векторным потенциалом А, уравнение
(15.120) можно привести к виду
с учетом равенства р = -ifcV это дает
[{(V + /M/cA)-sp+||k|2] |ф> = 0. (15.120)
[V2 + | k j2-(e/hc) {В¦ (\ -\-2s)}~\ | ф> = 0 (15.121)
мы опустили члены второго порядка по В). Сравнивая (это уравнение с
уравнением Шредингера (15.117), мы об-
144
Глава 15
наруживаем член, отвечающий взаимодействию' магнитного поля с орбитальным
и спиновым угловыми моментами электрона. Если умножить уравнение (15.121)
на постоянную -fi2/2M, в результате чего оно преобразуется к обычной
форме уравнения Шредингера с правильной размерностью энергии, то член,
описывающий взаимодействие, можно будет записать в виде -р В, где р = = -
щ 0 4-gjS). Здесь магнетон Бора определен равенством Рв = e'h/2Mc, а
спиновый g-фактор gs равен 2. Этот результат согласуется с
экспериментальным значением величины gs, которая очень близка к 2 (гл. 8,
§ 4).
Следует подчеркнуть, что мы вовсе не доказали равенство gs = 2 для любой
частицы со спином s = 1/2. Мы продемонстрировали лишь, что это значение
величины gs появляется естественным образом. Но всегда можно добавить в
гамильтониан дополнительные члены и тем самым получить любое значение
величины gs. В самом деле, для протона, который также имеет спин s = V2,
величина gs равна 5,58 в единицах ядерного магнетона. О таком значении gs
говорят как об "аномальном". Предполагается, что это отклонение от
естественного значения gs = 2 обусловлено внутренним движением частей,
составляющих протон. Такие частицы, как электрон и мюон, у которых
величина gs близка к своему естественному значению, рассматриваются как
более элементарные, нежели частицы, у которых отклонение величины gs от 2
велико. Даже у электрона gs = 2,0023, но это незначительное отклонение
находит объяснение в рамках квантовой электродинамики.
В. Группа Пуанкаре с s = 0, уравнение Клейна-Гордона
Перейдем теперь к волновым уравнениям, которыми описываются свободные
частицы, движущиеся с релятивистскими скоростями. Нам нужно построить
уравнения, решения которых принадлежат пространствам неприводимых
представлений группы Пуанкаре. Сначала мы займемся частицами с ненулевой
массой, и нас будут интересовать представления вида ?(к' s). В данном
пункте параграфа мы рассмотрим бесспиновые частицы (s = 0), а в п. Г-
частицы со спином s=V2-
Йространство и время
145
Представления Р1**s) характеризуются собственными значениями -k2 и -
&2s(s+l) операторов Казимира Р-Р и W-W (§ 4, п. В). Как и в двух
предыдущих пунктах, напишем явные дифференциальные выражения для
инфинитезимальных операторов: Р = -V, Р t -
= (1 /с) (d/dt), X = rxVnY = c/V-f (г/с) (d/dt). Тогда из определения
(15.72) следует, что оператор W тождественно равен нулю. При k=^=0 это
означает, 4tos = 0, и оператор Казимира Р • Р приводит к простому
уравнению Клейна-Гордона
(_V* + c-*-J^ + A*)|!>> = 0. (15.122)
Если ввести обозначение П2 = -V2+c"2d2/d/2, то это уравнение запишется в
виде (?2Н-А2)|ф> = 0, весьма напоминающем уравнение Шредингера (15.117).
Но если в случае уравнения Шредингера постоянная | к |2 связана с
энергией: Е = %21 к |2/2Л4, то постоянная &2, входящая в уравнение
Клейна-Гордона, связана с массой: М - = %k/c. Уравнение (15.122) имеет
решения в виде плоских волн
|г|)> = exp [t (к• г-ktct)]. (15.123)
Мы уже говорили о таких решениях в § 4, п. А. Напомним также, что в § 4,
п. Б мы определяли представления Р{к's) с помощью положительного
времениподобного вектора к, т. е. вектора, для которого kt > 0, так что
энергия E = bcki всегда положительна. Таким образом, мы накладываем
ограничение на решения уравнения
(15.122), которое имеет, очевидно, решения при любом знаке компоненты kt.
Как и в классической механике, релятивистский гамильтониан можно обобщить
на случай взаимодействия частицы, несущей электрический заряд -е, с
