Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
формулы (15.92)-что ГР = РГ и ГР4 = - РД\ Таким образом, ГУ/ = - У/Г и
TW^W*Г. Рассмотрим теперь базисный вектор, принадлежащий пространству
представления Р<°- т> группы 53, которое соответствует частице с нулевой
массой. Исходя из формулы
(15.76), получаем равенство Y (У/+ itriP) | km> = 0, так
что из вышеприведенных соотношений и антилинейности оператора Г следуют
равенства
(- W - imP) Г | km> = 0,
(W t + imP t) Г | km> - 0, или, другими словами,
(W + imP) Г | k/??> = 0. (15.110)
Итак, мы приходим к заключению, что вектор Г | km> тоже принадлежит
пространству представления Р(0, т) группы 95. Из формулы же (15.105)
следует, что этот вектор преобразуется по отношению к действию
группы 93 как
вектор | lkm>. Как и ранее, можно показать, что предположение о линейной
независимости векторов Г | к ту и и 11кт> приводит к построению
приводимого представления группы 9!>t. Следовательно, в случае
неприводимого представления должно выполняться равенство
Г | km> = | lkm>. (15.111)
(Мы выбрали фазовый множитель равным +1.) Заметим, что независимо от
выбора фазового множителя в этом случае Г2 = + 1. Как и ранее, смысл
формулы (15.111) состоит в том, что операция обращения времени меняет
направления импульса и спина на обратные. Но так как т-это проекция спина
на направление движения, величина т остается неизменной. С точки зрения
представлений мы заключаем, что пространство представления р(°, и)
остается инвариантным при добавлении к группе 9* операции Г и,
следовательно, является пространством Неприводимого представления группы
9*t.
136
Глава 15
Д. Некоторые следствия симметрии по отношению к обращению времени
1. Теорема Крамера
В качестве первого примера использования симметрии по отношению к
обращению времени мы выведем теорему Крамера, сформулированную впервые в
1930 г. Эта теорема гласит, что в системе, состоящей из нечетного числа
частиц с полуцелым спином и ненулевой массой, любое состояние двукратно
вырождено, если эта система описывается гамильтонианом, инвариантным
относительно обращения времени. Для "-частичных состояний | ф> оператор
обращения времени определяется как произведение п одночастичных
операторов. Рассмотрим теперь оператор Г2. Для каждой частицы он дает
множитель (-l)2i независимо от того, как эта частица движется. Таким
образом, если |ф>-состояние, описывающее п частиц с полуцелым спином, то
Г2|ф> = (-l)n|i|)> =-|ф> при нечетном п. Если |ф> является собственным
вектором Г-инвариант-ного гамильтониана, то вектор |ср> = Г|ф> также
является собственным. Но нетрудно видеть, что вектор | <р> независим от
вектора |ф> и даже ортогонален ему, так как из первого равенства формулы
(15.104) следует, что <ф | ф> = <ф I Гф> = <Г2ф I Гф> = -<ф I Гф> = -<ф |
ф>. Таким образом, <ф]ф> = 0 и, следовательно, векторы J ф> и | ф>
независимы. Последнее и означает двукратное вырождение. Добавление к
пространственной симметрии операции Г не всегда приводит к
дополнительному вырождению. Например, в сферически-симметричной системе
отмеченное выше вырождение соответствует вырождению между состояниями с
проекцией орбитального момента на ось г, равной ± т, и, следовательно,
является частью хорошо известного (2/ +1)-кратного вырождения в
сферически-симметричной системе.
2. Реакции
^Применительно к процессам Столкновений операция обращения времени
означает смену ролей сталкивающихся и разлетающихся частиц. Поэтому
предположение об инвариантности относительно обращения времени приводит
Пространство и время
13?
к соотношениям между вероятностями прямых и обратных процессов, известным
как "принцип детального равновесия". Для процессов взаимодействия,
исследуемых в рамках теории возмущений, можно также получить соотношения
между матричными элементами, соответствующими одному и тому же процессу.
Для иллюстрации рассмотрим разделение операторов Q на четные и нечетные
по отношению к обращению времени в соответствии со знаком "+" или "-" в
уравнении ГО=±ОГ. Например, из предыдущего анализа следует, что операторы
X и Р - четные, а оператор Y--нечетный. Учитывая множитель i, возникающий
при переходе от этих инфинитезимальных операторов к эрмитовым операторам
импульса и углового момента, мы видим, что операторы js и р нечетные, как
мы и ожидали, а операторы г и si, например, четные. (Напомним, однако,
что волновые функции нельзя классифицировать по четности относительно
обращения времени.) Для матричных элементов имеем выражение
<ф I q IФ>=<гФ | гаг-11 Гф>*=+<гФ | а | гф>*, (is. 112)
в котором плюс относится к четным, а минус-к нечетным операторам.
Производя измерения, связывающие значения матричных 'элементов между
некоторыми состояниями и другими состояниями, полученными из первых
действием^операции обращения времени, можно решить вопрос о том, является
ли оператор Q четным, нечетным или имеет смешанный тип по отношению к
обращению времени.
В качестве примера рассмотрим электрический ' ди-польный момент
