Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
лагранжевой), в которой используются
166
Глава 16
импульсы, а не координаты. Сначала введем обобщенные импульсы р{.
лНг- (16.3)
dqt
На основании уравнения Лагранжа (16.2) дифференциал dL можно записать в
виде
- ? PA4i + Y.Pid4i + ltidt-
dt
Но
d (II Piqlj = 2 (jidpi + 2 Pidqp, таким образом, разность
d (2 PM"L) = 2 4 idPi -2 ~Mdt (16.4)
' i ' i i
не содержит дифференциалов dq{ скоростей. Значит, величина 2р,7/ - L не
содержит скоростей в явном виде;
i
мы назовем ее гамильтонианом и обозначим через Н:
H(Pt, qh t) = IpiCii-L. (16.5)
i
Из уравнения (16.4) получаем
дН • дН • "
wr4h Wi=~Pi- {16-6)
Это-уравнения Гамильтона. Если уравнения Лагранжа содержат вторые
производные по времени от координат q{ (поскольку величина dL/dqit вообще
говоря, зависит от скоростей qt), то в уравнения Гамильтона входят лишь
первые производные по времени от переменных р,- и q;. Но теперь число
уравнений удвоилось. Естественно, оба метода дают одно и то же решение.
С точки зрения симметрии легко заметить, что если лагранжиан L (или
гамильтониан Н) не зависит от некоторой координаты qh то соответствующий
обобщенный импульс pi постоянен, поскольку из уравнений (16.2)
Частицы, поля и античастицы
167
или (16.6) мы получаем pt - 0. Отметим также, что из уравнения (16.4)
следует равенство
dH чгч • • • • dL dL /i" -74
dt ~2ucIiPi luPiQi Qt ' 06.7)
i i
Таким образом, если лагранжиан L (или гамильтониан Н) не зависит от
времени (явно), то гамильтониан Н постоянен. Эта постоянная, связанная с
однородностью времени, может быть отождествлена с энергией системы
подобно тому, как однородность пространства, dLtdqi = О, приводит к
постоянству импульса
При описании колебаний молекул в гл. 6, § 2 мы уже встречались с простым
примером использования уравнений Лагранжа.
В. Примеры из релятивистской механики
Рассмотрим сначала свободную частицу с массой М. Мы требуем, чтобы
действие S было инвариантным относительно преобразований из группы
Пуанкаре, что совпадает с требованием независимости движения от
положения, ориентации и скорости равномерного движения всей системы в
пространстве. Поскольку интеграл (16.3) может рассматриваться для любых
интервалов, должно быть инвариантным само подынтегральное выражение. В
обозначениях гл. 15, § 2 координаты частиц записывались так:
е= (х, у, z, ct), de - (dx, dy, dz, cdt) = (vx, vy, vz, c)dt, т. e. |de |
= (de-deyt* = (c2-v2yt*dt,
где v-- скорость. По построению величина |rfe| инвариантна, и,
следовательно, но крайней мере с точки зрения инвариантности выражение
(с2-и2)1/* подходит для роли лагранжиана L. Величина |de|-это интервал
между соседними точками ей e + de на траектории частицы в четырехмерном
пространстве. Она подобна расстоянию ds = (dx2-{-dy*)'/* вдоль кривой в
двумерном пространстве. В самом деле, мы видим, что выбор
L = - Мс (сг-у2)1/г
(16.8)
168
Глава 16
приводит к обычным уравнениям движения частицы массы М. При таком подходе
массу следовало бы определить как постоянную М, входящую в выражение
(16.8) для лагранжиана L. Пользуясь уравнением Лагранжа (16.2) и
отсутствием зависимости лагранжиана L от переменных х, у, z, получаем
постоянные импульсы dL/дх и т. д.;
px = Mvx( 1 - i>2/c2)_I/* = const и т. д., (16.9)
а для энергии
Е = Н = 2 Piki-L = Mv2(l - vVc2)-'/. + Мс2( 1 - н2/с2) V, = = Мс2(1-
h2/c2)-'/2 = A1c2 (1 +р2/М2;с2'/*. (16.10)
Из равенств (16.9) и (16.10) можно вывести обычное соотношение между
энергией и импульсом
?2-р2с2 = Л42с4,
такое же, как и в квантовом случае [формула (15.94)]. При малых v/c
выражение (16.10) сводится к известному выражению
E = Mc% + ^Mv*, (16.11)
содержащему энергию покоя Л4с2 и кинетическую энергию.
В качестве второго простого примера возьмем электромагнитное поле,
которое задается векторным потенциалом К = (АХ, Ау, Аг, ф). Для описания
движения в этом поле частицы с зарядом е мы должны таким образом изменить
лагранжиан (16.8), чтобы он содержал А, но оставался инвариантным. Самый
простой инвариант-скалярное произведение
А • de = (- А • v + сф) dt.
Обычные уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле
получаются путем включения именно такого члена с подходящей постоянной -
е/с, так что
L¦= - Мс (с2-i>2)'/2-j-(e/c) (A-v)-еф. (16.12) Теперь обобщенные импульсы
имеют следующий вид:
px*=-j^ = Mvx (1 - v2/c*)-'/* + (e/c)Ax, (16.13)
Частицы, поля и античастицы
169
а гамильтониан таков:
Я = Л/1с21( 1 -ц2/с2)-'/г_{_ еф =
= Мс2 {1 + (р-еЫс)ЧМ%с*уь+еч. (16.14)
Уравнение Лагранжа (16.2) для лагранжиана (16.12) после некоторых
алгебраических преобразований переходит в обычное уравнение движения
заряда в поле. В нерелятивистском пределе v<^.c мы получаем уравнение
mv = - {е/с)щ А - е grad ф + (е/с) v х rot А, (16.15)
которое обычно записывается в виде
mv = еЕ -f- (е/с) v х В, (16.16)
где
Е = - ~А/с-gradq), B = rotA. (16.17)
Векторы Е и В называются напряженностями электри-
ческого и магнитного полей. Величина, стоящая в правой части уравнения
