Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
паре уравнений. Уравнение же (W + imP) | ф> = 0, которое является 2x2-
матричным уравнением, есть искомое условие для волновых функций. Чтобы
найти матричную составляющую оператора W, воспользуемся определением
(15.72) оператора W, а также двумя последними строками и столбцами
выражения (15.142) для матричной составляющей операторов X и Y.
(Напомним, что дифференциальная часть оператора W тождественно равна
нулю; §8, п. В.) Тогда условие (15.76) принимает вид
{mPt-P-s}|\|)> = 0, (15.145)
{тР - Pts-t'Pxs}|i|)> = 0. (15.145а)
Мы получили систему четырех уравнений, поскольку уравнение (15.76)
связывает четырехмерные векторы. Однако при т - - Vs уравнение (15.145а)
на самом деле является следствием уравнения (15.145). В этом можно
убедиться, умножив последнее уравнение на s. Следовательно, условие,
которому должны удовлетворять волновые функции в случае т - -V2> есть
просто уравнение
(15.145), называемое уравнением Вейля. Если подставить в него
дифференциальные выражения для компонент оператора Р, то оно принимает
более привычный вид
(15.146)
158
Глава IS
Для построения решений с //z^+Vа. которые соответствуют антинейтрино (гл.
16, § 3, п. Ж), следует воспользоваться представлением °>, а в остальном
метод остается неизменным.
Вернемся к уравнению (15.145) и рассмотрим его решения в виде плоских
волн. Для этого заменим оператор Р величиной ¦-ik. В этом случае,
используя явный вид матриц s, нетрудно решить уравнение (15.145).
Единственное с точностью до нормировки решение имеет вид
Единственность решения согласуется со свойствами представления Р(0- -
'/г), в котором данному значению к отвечает единственный базисный вектор.
В нашем случае мы также имеем единственный допустимый вектор |k-1/а>>
выраженный, однако, через двухкомпонентную волновую функцию. Фактически
уравнение (15.145) можно записать в виде (k-s) j i|)> = т | к | j ф>. Это
значит, что |г|з> является собственным вектором проекции оператора спина
на направление к, соответствующим собственному значению т. Если учесть
явный вид матриц представления L<0> 1/г) (§ 2, п. Д), то окажется, что
уравнения (15.143) и (15.147) совпадают.
К таким же результатам можно прийти и в рамках четырехкомпонентного
дираковского описания. Для этого нужно перейти к пределу при ^0 и
наложить дополнительное условие (W + imP) |г|з> = 0 с т = -1/2. Снова
ограничиваясь временной компонентой этого уравнения и привлекая выражение
(15.142) для оператора X, получаем
где для удобства введено обозначение уь = iytYxYu7z- Как
где ± 1-единичные 2 х 2-матрицы. Поэтому условие (15.148) попросту
выделяет векторы | ф> с равными нулю первой и второй компонентами.
Другими словами, мы
0+у5)1Ф> = о>
(15.148)
нетрудно убедиться, матрица ув имеет
Пространство и время
159
возвращаемся к представлению Р(0> O)0L(O' */¦>, использованному выше.
Решения уравнения Вейля составляют подмножество множества решений
уравнения Дирака при k-*-0. Поэтому при определении скалярного
произведения для решений уравнения Вейля мы можем использовать
результаты, полученные нами при анализе скалярного произведения для
решений уравнения Дирака. Скалярное произведение <ф | ф>, записанное в
форме (15.137), в данном случае не годится, поскольку для решений
уравнения Вейля оно равно нулю. Однако небольшая модификация
эквивалентной формы скалярного произведения (15.139), заключающаяся в
устранении инвариантной константы k, приводит к ненулевому скалярному
произведению для решений уравнения Вейля. На самом деле эту константу
можно было бы устранить уже из обоих предыдущих выражений для <ф|ф>.
Заметим, что теперь суммирование в формуле (15.139) распространяется лишь
на значения а = 3 и а = 4, поскольку первые две компоненты тождественно
равны нулю. Нормировочный множитель в решении (15.147) выбран таким
образом, что <k'/n | к ту- = kt6( к'-к).
Заметим, что с учетом равенства kt = \k\, которое выполняется в случае
нулевой массы, решение (15.147) и решение (15.119) для евклидовой группы
очень схожи между собой. Это и естественно, [если учесть интерпретацию,
принятую нами в § 7, п. Б, согласно которой частицы с нулевой массой
вращаются вокруг направления своего движения. Чтобы проиллюстрировать
это, положим kx = k н = 0, a kz > 0, так что kt - kzn I к-*/* >сС /0\ ;
001 ^ ) | к>. Таким образом, проекция спина на направление движения
отрицательна. Если же положить kx = ky - Q, a kz < 0, так что kt = - kz,
то [ к -*/* > ос (к ). В этом
случае проекция спина на ось z положительна, но, поскольку частица
движется теперь вдоль оси z в отрицательном направлении, проекция спина
на направление движения снова отрицательна.
160
Глава 15
Е. Частицы нулевой массы со спином |/к|зз1, уравнения Максвелла
В этом случае мы будем близко следовать методу п. Д, заменив /п = 7а на
т- 1 и используя представление р<°. °)0 L<i. °). в результате мы получим
пространство трехкомпонентных функций и должны будем использовать условие
