Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 50

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 138 >> Следующая

свободных частиц, то эти уравнения не дают новой информации по сравнению
с той, которая содержится в структуре неприводимых представлений. Но они
необходимы при исследовании взаимодействий (§ 8, п. Б), а также при
построении теории квантованных полей (гл. 16, § 3).
А. Группа 5?3
Напомним (гл. 7, § 5), что оператор Казимира для группы 5?3 есть J2 и его
собственные значения в представлении D(7> равны /(/ + 1), где / = 0, 1/2,
3/2 и т. д. В гл. 7, § 4, п. Д мы нашли явный вид дифференциальных
операторов J? = -i(rxV) Таким образом, базисные векторы пространства
представления должны удовлетворять следующему "волновому уравнению":
{(rxV)2 + /(/+l)}|/m> = 0. (15.114)
Так как длина вектора г инвариантна относительно вращений, при изучении
базисных векторов пространства представления D1'1 мы можем рассматривать
величину г как постоянную. В этом случае уравнение (15.114) с учетом
формулы (7.57) приводится к виду
{r2V2 + /(/ + l)}j/m> = 0. (15.115)
Следовательно, свойства базисных векторов | \тУ можно установить, исходя
из решений волнового уравнения
(15.115). Фактически это уравнение является уравнением Шредингера для
частицы, движущейся по сфере радиусом г, и его решениями являются
сферические гармоники с целыми /, а именно К^')(0, ср).
Для построения волновых функций, отвечающих по-луцелым значениям /, мы
должны обобщить уравнение
(15.115), рассмотрев, как говорилось в гл. 8, § 4, функции с несколькими
компонентами. Если, в частности, мы
Пространство и время
141
ограничимся двумя компонентами, преобразующимися по представлению Dt*/*>,
то инфинитезимальные операторы вращения принимают вид J = ! + s = -irxV-
fs, где s обозначает набор из трех 2X 2-матриц s вида (8.15). Поступая
точно так же, как и ранее, получаем новое уравнение
'rW2-4 + 2ts-rxV + /(/+l)||/m> = 0, (15.116)
где вместо s2 мы подставили значение 3/4. Подразумевается, что слагаемые,
не содержащие множителей типа s, умножены на единичную 2 х 2-матрицу, а
волновые функции j jmy имеют две компоненты:
/ф+ (0, cp)N
'"K>"U-(e, фЬ
(обозначения такие же, как и в гл. 8, § 4). Таким образом, уравнение
(15.116) представляет собой систему двух дифференциальных уравнений для
двух функций ^±(0, ср). Эта система уравнений выглядит довольно сложно,
но мы уже решили ее в гл. 8, § 4. Два дифференциальных оператора,
входящие в уравнение (15.116), коммутируют друг с другом, и,
следовательно, их можно одновременно привести к диагональному виду,
причем диагонализация первого из них осуществляется путем перехода к
сферическим гармоникам . В то же время нам известно (гл. 8, § 4), что по
правилу сложения моментов при данном / и s - г/2 единственно возможные
значения величины / таковы: /==/±1/2. Используя свойства повышающих и
понижающих операторов 1± [формула (7.40)], можно показать, что (задача
15.11) два решения уравнения (15.116) имеют вид
1(2/+l)lVm-V,(e. ф)
{(/ +i_ + т) 1(21 + ljVMVv, (О, Ф), при / = / + V2, '
'{ (1 + у + т)/(21 + l)j>VY^_I/2 (0, ф) ¦
1/Ш> ^{(/+4-m)/(2Z+l)},/,r{i)+./,(0, Ф),
при / = /-V2.
142
Глава 15
Числовые коэффициенты перед сферическими гармониками-это просто
коэффициенты векторного сложения, и вышеприведенные решения фактически
совпадают с решениями (8.24) при s -1/2.
Б. Группа
В § 1 мы показали, что группа симметрии 4>3 имеет неприводимые
представления Е</ь|. ">) с т = 0, ± V2, ±1, ... и | k j > 0, а также Е<0,
s) = D(i). Операторы Казимира теперь имеют вид Р-Р и Р-Х; их собственные
значения в представлении Е< 1k/>равны -|k|2 и -|k|m. Если воспользоваться
явными выражениями Р =-V и X = -rxV, то оператор Р-Х обращается в нуль и
мы можем построить лишь представление E(lkl-°) с /п = 0. Соответствующее
волновое уравнение в этом случае имеет вид
(V3 -f-1 к |2) | ф> = 0. (15.117)
Это уравнение Шредингера для свободной бесспиновой частицы, энергия
которой в единицах fi2/2M равна |к|2.
Чтобы построить волновые функции для случая тф 0, мы снова введем
многокомпонентные величины. Записав, как и ранее, инфинитезимальный
оператор вращения в виде X --И - -I(S -f-s) ==-rxV-is, получаем, что
оператор Казимира Р-Х дается выражением -iP-s = iV-s. Ограничиваясь опять
двумя компонентами и полагая операторы s равными спиновым 2 х 2-матрицам,
мы ожидаем получить базисные векторы с т-+х1г. Это сразу же можно
проверить, написав новое волновое уравнение (t'V-s-f-1 к | т) | ф> = 0,
из которого следует, что
{(V-s)2-f-1 k !2т2} | ф> = 0. (15.118)
Но так как спиновые матрицы удовлетворяют соотношениям s2 = v4.
sxstf+v"=(r) и Т- д-' мы имеем (V'5)2 - = V4V2. Таким образом, сравнивая
уравнения (15.118) и (15.117), мы приходим к выводу, что m2 = V4 и,
следовательно, т=±1/2. Так при помощи двухкомпонентных функций удается
построить базисные векторы для представлений Е( I k I- ,/г) и ,Е< Ik )• -
,/*). Воспользовавшись явным видом спиновых матриц (8.15), получаем, что
эти базис-
Пространство и время
143
ные векторы (ненормированные) равны
Ч + Ч J '
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed