Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представления подчиняются тому же закону. Иначе говоря, оператор
обращения времени коммутирует с вращениями и меняет направления бустов на
обратные. Из определения физической операции обращения времени следует,
что операция Г2 воспроизводит исходную физическую систему. Следовательно,
Г2 |ф> = ехр (ta) | ф>, где a-некоторая фаза. Вместе с условием
антилинейности (15.104) это приводит к следующему ограничению (задача
15.10): Г21 ф> = ± | ф>. В случае однозначного представления мы должны
были бы выбрать знак "+", так как соответствующий элемент группы
удовлетворяет соотношению 12 = Е. Но если мы допускаем наличие двузначных
представлений, подобных представлениям группы 9is с полуцелыми /, то
приемлем также и знак "-".
Конечная масса
При изучении поведения базисных векторов Iks/n^) пространства
представления s) группы JP под действием нового преобразования Г мы будем
придерживаться метода, изложенного в § 5. Рассмотрим сначала векторы
специального вида jk0sms> с ко = (0, 0, 0, 1). Из формулы (15.105)
следует, что вектор Г|к05яг^> отвечает тому же значению к = к0. Можно
было бы думать, что, так как оператор Г коммутирует с вращениями, вектор
Г | k0sms> должен характеризоваться тем же значением величины tns. Но
нужно учесть антилинейность оператора Г. Поскольку
Пространство и время
133
собственные значения оператора Хг являются мнимыми, т. е. Х21 k0sms> = -
ims | k0sm^> (см., например, гл. 7, § 3, п. Д), получаем
ХгГ | k0sms> = ГХг | к 0sms> =
= Г (- ims) | k0sms> = imsT | k0sff^>.
Отсюда следует, что при вращениях относительно оси г вектор r|k0sm^>
преобразуется как вектор, характеризующийся значением -ms, хотя, как
нетрудно видеть, величина s остается неизменной. Фактически для
произвольного вращения имеем
Т (R (а)) Г | k0sms> = ГТ (R (a))] C0sm > =
= 2rD^mj(a)|k>?0 =
ms
= 20(Ч; (a)T|k0sm;>. (15.107)
т' s s
Таким образом, множество векторов r|k0sms> с фиксированными к0 и s
преобразуется при вращениях по представлению, комплексно-сопряженному
представлению Ои> группы Я3. Но представление DU) эквивалентно своему
комплексно-сопряженному (гл. 7, § 7), и с учетом обычных соглашений
выполняется равенство D{^*m (а) =
S S
Г (^)
= (-l)^-m^_m;_,"s(a). Следовательно, набор векторов r|k0s/n5>
преобразуется при вращениях так же, как и набор векторов (-l)"1^ (k0s-
ms>. Соответственно этому имеются две возможности: либо векторы Г[к0sms>
линейнонезависимы от векторов |k0s-ms>, либо справедливо равенство Г |
k0sm^> = у (-l)m^ | k0s-ms>, где у-некоторая постоянная. Так как нас
интересуют неприводимые представления группы Sit, первую возможность
следует отбросить. Дело в том, что представления такого типа, построенные
исходя из вектора | k0sms>, приводимы. Доказательство этого аналогично
соответствующему доказательству из § 3. Обратимся ко второй возможности.
Принято выбирать множитель у=:(-l)s, так что множитель - l)s+mj
действителен и при полуцелых значениях s.
134
Глава 15
Заметив, что набор (2s+1) векторов | к0втл> с фиксированными к, и s
инвариантен по отношению к вращениям и обращению времени, образуем
остальные базисные векторы пространства представления группы 3it,
используя формулу (15.57), определяющую действие буста на векторы вида
|k0smf>. Для произвольного базисного вектора пространства представления
имеем
Г1 ksm*> = ГТ (Q [b (k)]) 1 Mm* > =
= Т (Q [- b (к)]) (-])s+"* J k0s-ms> =
= (-l)s+m'S|lks-msy. (15.108)
Это равенство показывает, что операция Г изменяет на противоположные
направления импульса и спина частицы. Кроме того, из него следует, что
Г2 | ksm^) = (- l)s+mj (-l)s-mj j ^Smsy =
= (- l)"*|itsm,>. (15.109)
Таким образом, Г2=1 для представлений с целым спином и Г2 = - 1 для
представлений с полуцелым спином. Это справедливо независимо от выбора
множителя у. Пользуясь формулой (15.108), мы можем непосредственно
определить результат действия оператора Г на произвольный вектор |ф>,
заданный выражением (15.78). Преобразованный вектор |ф'> = Г|ф>
определяется коэффициентами фтДк) - (-l)s"'n5i|)Lmi(-Ik). Оператор
обращения времени можно представить в виде произведения унитарного
оператора на оператор К, осуществляющий комплексное сопряжение с-чисел--
коэффициентов разложения по некоторому базису; однако явный вид такого
представления для оператора Г будет, очевидно, зависеть от выбора базиса.
Заметив [формула (20.40)], что спиновое вращение Rf,(-л) переводит ms в -
ms и вводит добавочный множитель (-l)s+'ni) и определив оператор Tft(I)
как оператор, переводящий базисный вектор пространства представления,
отвечающий четырехмерному вектору к, в вектор, отвечающий четырехмерному
вектору Ik, мы видим, что в базисе | ksms> выполняется равенство Г = =
KRp(-л)ТА(1). Однако в координатном представлении операция обращения
времени задается формулой Г =
Пространство и время
135
= KR?(-я)Т(1,), где оператор Т(I*) меняет t на -t. Если s = Vj. то Rsy(-~
Jt) = 2tsB.
Нулевая масса
Из закона умножения (15.106) следует, что ГХ = ХГ и ГУ = - УГ, а из
