Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
элементов Мс на векторы | kaiy, т. е. Т (bAc)\kaiy = - \kai,cy.
Полученное представление обозначается через T<x"> и имеет размерность
sak/k; его матричные элементы могут быть найдены так, как это делалось
при выводе формулы (20.22):
Т (НК) | Ш, с> = Т (Н) Т (К) Т (Мс) | kaiy =
= Т (Н) Т (К') I kaiy = Г (К') Т (Н') I ДД> = т (к') Т<*> (Н')|Яш> =
= Т<Я>(Н')Т(М,)Т(К')1 kaiy = Т(Я)(Н ')2 Т'д'Гк' )Т (Md) | kaj у -
/
= Т<я> (Н') 2 Tf (К') I kaj, dy. (20.23)
/
Здесь новые символы К', Н', Md, К' и d определены соотношениями К7 = КМС,
Н' = К'_1НК', K' = MdK'. Таким образом, представление выражено через
матричные элементы представлений подгрупп Ж и Ж.
Возникает вопрос: будем ли мы при каждом новом выборе к получать новое
неприводимое представление группы ?? Вообще говоря, нет, так как если
некоторые из представлений Т(Я"> неэквивалентны представлениям Та>, то мы
получим одно и то же представление группы ?, исходя из любого Т<Яа>
вместо Т<4 Набор представлений Т(Яа) называют принадлежащим одной орбите.
При построении всех неприводимых представлений группы $ следует выбрать
лишь одно значение к для каждой орбиты.
Понятие орбиты тесно связано с понятием звезды векторов к (гл. 14, § 9,
п. А), так как вектор к соответствует вектору X. Пред-
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 325
ставления TlV группы трансляций, где к,- принадлежит звезде векторов к,
будут принадлежать одной орбите.
В качестве простого примера найдем представления полупрямого
представления - группы 04 = С4ДС2. Сначала заметим, что по геометрическим
соображениям ось С2 должна быть перпендикулярна оси С4, а элементы
произведения распадаются на пять классов группы D4: Е; Q; С4, С4; С.,
QC2; С4С2; QC2. Имеются четыре неприводимых представления Т<я> группы С4,
с которых можно начинать построение представлений (прилож. 1, табл. П.1).
Выбрав в качестве исходного единичное представление А группы С4, мы
получаем, очевидно, в качестве малой группы саму фактор-группу С2, так
как для единичного представления все матричные элементы Т(Я) (Н) = 1
одинаковы для всех Н. Таким образом, для каждого неприводимого
представления Т<") группы С2, а их имеется два (Л и В в обозначениях
табл. П.1), мы получаем одномерное представление группы Di. Из формулы
(20.23) с использованием таблицы характеров для С2 можно видеть, что при
этом получаются представления группы Z?4, обозначенные в табл. П.1 через
и Л2. Обратимся теперь к следующему представлению В группы С4; очевидно,
что малой группой здесь вновь является группа С2, причем возникают еще
два представления В1 и В2 группы Da. Наконец, если взять первое из пары
представлений группы С4 (обозначаемое через Е), то малая группа уже не
может содержать элемент С2, поскольку С^1С4С2=С4 и матричные элементы для
С4 и Q уже не совпадают для представления Е группы С4. Поэтому малая
группа сводится к тривиальной единичной, и мы имеем двумерное
представление (k/k -2) группы П4, описываемое формулой (20.22) и
обозначаемое через Е в табл. П.1. Взяв второе представление из пары,
соответствующей представлению Е группы С4, мы получим то же представление
группы П4, поскольку указанная пара представлений принадлежит одной
орбите.
§ 4. КЛАССИФИКАЦИЯ ГРУПП ЛИ
В гл. 9 мы последовательно рассмотрели конечные точечные группы, но что
касается непрерывных групп Ли, введенных в гл. 7, то пока были приведены
лишь неко-
326
Глава 20
торые примеры, существенные для отдельных физических проблем. В данном
параграфе мы дадим последовательное описание групп Ли, чтобы читатель
смог разобраться в групповом аспекте любой новой проблемы симметрии.
Начнем с нескольких новых определений. Если у группы отсутствуют
инвариантные подгруппы, то она называется простой. Если у группы
отсутствуют лишь абелевы инвариантные подгруппы, то она называется
полупростой; таким образом, простые группы образуют подмножество
полупростых. Иногда для группы, имеющей абелеву инвариантную подгруппу,
пользуются термином "неполу-простая". В силу сказанного в предыдущем
параграфе неполупростые группы можно рассматривать как полупрямые
произведения, а потому можно сосредоточить внимание лишь на полупростых
группах. Более того, можно показать, что если группа Ли является
полупростой, но не простой, то ее можно записать в виде прямого
произведения простых групп. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся
классификацией только простых групп Ли.
Начнем с того, что введем г инфинитезимальных операторов Х/;,
перестановочные соотношения для которых (гл. 7, § 2) таковы:
[Х", Хя] = 24рХ,- (20.24)
Набор операторов с таким законом умножения часто называют алгеброй Ли.
Если составить матрицу
gqs='^j ctqpcst (20.25)
р, t
из структурных констант с\р, то группа будет полупростой, если detg?=0.
Это так называемый критерий Картана, который нетрудно вывести, если
заметить, что из существования абелевой инвариантной подгруппы следует
существование подмножества Х(< операторов X/, удовлетворяющих
