Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 115

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 138 >> Следующая

соотношениям
[х?., Хр,] =0, [Х?/, хг] = 2 xs",
s'
где штрихом отмечены операторы, входящие в подмножество.
Для любой данной группы имеется большая свобода в определении операторов
Хр, поскольку любая действительная линейная комбинация Хр сама является
инфини-тезимальным оператором. Строя классификацию различ-
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 327
ных групп Ли, мы, разумеется, будем выбирать наиболее удобный набор.
Найдем прежде всего максимальный набор коммутирующих друг с другом
инфинитезимальных операторов и обозначим его через Н,-. Число операторов
в наборе Н,- называется рангом группы и обозначается через I. Для /
выполняется неравенство 1 ^ I ^ г, поскольку любой оператор коммутирует
сам с собой. Оставшиеся операторы Еа можно выбрать так, чтобы они были
"собственными операторами" набора Н(- в том смысле, что
[Н" Ев]=а/Е" (20.26)
для некоторого набора "собственных значений" [а,-. Тот факт, что
операторы Еа можно выбрать таким образом, чтобы они были собственными
векторами всех операторов Н(-, следует из перестановочности операторов
Н,-; это доказывается в обычной теории собственных векторов. Если
известны структурные константы для любого набора Хр, то можно найти Нг, а
затем построить Еа. Набор I собственных значений а,- будем рассматривать
как /-мерный вектор а = (а1а2. . . аг); его называют корневым вектором,
причем можно показать, что для полупростых групп отсутствует вырождение,
т. е. ни одна пара операторов Е не имеет одинаковых нулевых корневых
векторов. (Разумеется, можно рассматривать Н; тоже как собственные
векторы с ое = 0, и в этом особом случае имеется вырождение порядка /.)
Таким образом, корневого вектора а достаточно, чтобы полностью
характеризовать представление Еа.
Чтобы найти полную систему перестановочных соотношений между новыми
наборами операторов Н,- и Еа, нужно вычислить коммутатор [Еа, Ер], но на
ссновании тождества Якоби для деойного коммутатора мы имеем
[Н" [Еа, Ер]] = [[Н" Еа], Ее] + [Еа) [Н" ЕД] =
= (",+Р/)[Е", Ер].
Таким образом, коммутатор [Ек, Ер] сам является собст-венньм оператором
набора Н,- с корнеЕьм Еектором Поэтому если a-j-p=^0, то можно написать
[Еа, Ер] = NарЕа+р (20.27)
328
Глава 20
с некоторым нормировочным множителем, который зависит от определения Еа.
Если а + Р = 0, то коммутатор [Е", Ер] коммутирует с операторами Н,- и,
следовательно, должен быть их линейной комбинацией, так что можно
написать
[Е", Е_а] = 2"'Н,. (20-28)
i
Множители а' тоже зависят от выбора операторов Н, и нормировки оператора
Еа; для удобства можно положить
В этом случае нужно сначала выбрать Н; так, чтобы выполнялось условие gij
= &ij, используя процесс Шмидта, поскольку величина gik = 2 a,-aft имеет
вид скалярного произведения. Затем сле-
а
дует ввести величину cpgs= ^gptCqs и показать, что она антисим-
t
метрична по трем индексам. Тогда мы находим
cka-a = -" = с" -a = a*"
(
cka -а~с~а ka "2 8-atcka,= g-a a Cka a&kga-a> t
Таким образом, величина vfi пропорциональна величине и при
соответствующем выборе нормировки оператора Еа они будут равны.
Можно сначала классифицировать группы Ли по их рангу I, а затем при
каждом значении I найти возможные наборы корневых векторов а в /-мерном
пространстве. Как мы увидим, эти векторы должны удовлетворять весьма
жестким условиям, так что может существовать лишь небольшое число
решений. Первое свойство корневых векторов состоит в том, что если а-
корневой вектор, то -а-тоже корневой вектор.
Это можно показать, построив матричные элементы gap по определению
(20.25) с учетом равенства нулю некоторых структурных констант в силу
формул (20.26) -(20.28). Тогда при данном а все матричные элементы
обращаются в нуль, если только ие выполняется условие Р = - ". Если не
существует корневого вектора -а, то вся строка а матрицы g обращается в
нуль, откуда следует равенство detg=0 и нарушение критерия полупростоты
Картана
Указанное свойство позволяет нам разделить корневые векторы на
положительные и отрицательные соответственно знаку первой компоненты > 0
или < 0. Если
Дополнительные сведения (отдельные вопросы)
329
"! = (), то положительность или отрицательность корневого вектора
определяется знаком второй компоненты и т. д. Упорядочение операторов Н,,
а значит, и компонент а,- может быть произвольным. Число г/2(г - 1)
положительных корневых векторов, вообще говоря, больше I, так что они не
являются линейно-независимыми. В качестве базиса можно по-прежнему
использовать / векторов (1, О, О, ...), (О, 1, 0, ...) и т. д., но
удобнее пользоваться базисом, построенным на корневых векторах, в
частности базисом из так называемых простых положительных корневых
векторов. Последние определяются так, чтобы их нельзя было записать в
виде суммы двух других положительных корневых векторов. Можно показать,
что существует ровно / простых положительных корневых векторов и что они
линейно-независимы. Следующее свойство состоит в том, что если а и р-два
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed