Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
T(R) = exp а-Х = ехр ( - ia-J) (20.35)
между оператором конечных вращений и инфинитезималь-ными операторами.
Здесь, как и в гл. 7, § 4, вращение
z
параметризуется вектором а. Матрицы В(^,т(R) часто называют матрицами
вращений. Хотя мы иногда использовали свойства этих матриц, мы еще не
пытались представить их как функции параметров а; единственное
исключение-частный случай / -х/а в гл. 18, § 13, п. В. Как видно из этого
примера, параметры а не очень
.340
Глава 20
удобны, и принято параметризовать вращения тремя углами Эйлера а, |3, у.
[Углы Эйлера а, р и у не следует смешивать с матричными элементами аир
матрицы SU2 ,(18.32), для которой, к сожалению, приняты такие же
обозначения.] При такой параметризации произвольное вращение определяется
положением "новых" осей координат х', у', z', полученных в результате
поворота "старых" осей х, у, z. Введем обычные полярные углы (подобно
углам 0 и ф для точки г), определяющие положение оси ¦z' относительно
исходных осей, и обозначим их, как это принято, через р и а; их области
изменения таковы: О^гР^л, 0^а^2я. Другими словами, Р-это угол .между
осями z и г', а а-между осью х и проекцией .оси г' на плоскость ху (рис.
20.2). Остается лишь определить положение оси х' (а тем самым и оси у'),
для чего .достаточно указать угол у между плоскостями Ozz' и Oz'x'.
Произвольное вращение удобно выражается в виде произведения трех простых
вращений вокруг исходных осей. Заметим, что если у = 0, то вращение
представляется в виде произведения Rz (a) Ry (Р). При этом поворот на
угол р перемещает ось х по широте в направлении к "югу", а поворот на
угол а перемещает ту же ось по долготе, если употребить названия
географических координат. [Последовательность этих вращений существенна,
поскольку при обратном их порядке поворот на угол Р проводился бы вокруг
оси, получаемой из Оу в результате вращения R2(a).] В общем случае, когда
у=^0, нужно сначала выполнить поворот на угол у вокруг оси z\ тогда
оператор общего вращения примет вид
R = Rz(a)R^(p)Rz(y). (20.36)
[С тем же основанием можно было бы выполнять поворот на угол у вокруг оси
z', но мы вскоре увидим преимущество, которое дается проведением всех
вращений в (20.36) вокруг осей из одного и того же исходного набора.]
Факторизация элемента (20.36) обеспечивает факторизацию и оператора
представления (20.35):
Т (R) = exp (-iaJz)exp (-ipj^exp (-i'yJz); напомним, что по определению
матрицы вращения выпол-
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 341
няется соотношение
Шт(". Р, y) = </m'|T(R)|/m>,
где через | /т> обозначены базисные векторы. Отсюда с учетом
диагональности оператора 12 в этом базисе сразу же получаем упрощение
Р, у) = ехр[-t(am'+ym)]</m'|exp( -ф}у)Цт>.
(20.37)
Оставшиеся матричные элементы можно найти, используя соотношение iy = ()
+-J_)/2i и формулу (7.40) для матричных элементов операторов J±. В
качестве первого шага при выводе общего выражения для матричного элемента
получим его выражение при / = 1/2- Для этого частного случая выражение
для матрицы J было дано в формуле
(8.15):
J =i(°
" 2 \i 0,
откуда, очевидно, Ц = 1/4, и (как в гл. 18, § 13, п. В) ряд для ехр(-ф}у)
упрощается:
ехр ( - гр! )=(l - 4р2+---) - Ну (р -о7р3 + .-0 =
у' \ 4 1 1 ' ' ' J у V 24
= COS */2Р - 2iiy sin V2P.
Таким образом, полная матрица дается выражением
Л'/" =
а, р,7
/ехр[-1/2t (a+y)] cos V2P -exp [72t (y-a)] sinV2p\
- ^exp [V2t (a-y)] sin V2P exp [V2t (a+y)] cos V2P J '
(20.38)
Приравняв это выражение матрице (18.37), можно найти соотношение между
углами Эйлера и прежними параметрами а. Тогда можно показать, что весовая
функция при интегрировании по группе (приложение 4, § 3) имеет вид p(a,
Р, у) = sin р.
Общее выражение для матричного элемента можно вывести из выражения
(20.38), рассматривая вектор
!//> =
2 2 )i I 2 2 )2 - • * I 2 2L
1 1 v 111
342
Глава 20
как произведение 2j множителей, подобно волноеой функции 2/ частиц со
спинсм / = 72 и с /п = 72. Тогда в состоянии | \ту будет j + m спинов,
направленных вверх, и j-т спинов, направленных вниз,и мы должны
просуммировать по Есем различным способам приписывания спина частицам.
Число таких способов дается биномиальным коэффициентом C)Lm. Вводя
нормировочный множитель, с учетом выражения (20.37) получаем
P. у) = ехр + X
( 2/
х(/_/п/1 2 <.п[т'г... ] ехр (- Ф-ф)! гп^т^. . .>.
Здесь тг- проекция спина ± 72 частицы i, а сумма ограничена условиями =
2/ni==m,• (r) СПЛУ симмет-
i
рии оператора и волновых функций можно оставить только одно слагаемое,
умножив его на число членов. Тогда получим
р, у) =
/ 2j / 2/ \~Ч:
-exp[-i(am' + ут)]^_т, J X
/+т j-m
х'Е(т'1т2. . . j ехр ( -ф^)| + + . . . +------...-). (20.39)
т?
Здесь у первых \-\-m частиц т = ±72- Поскольку оператор представляет
собой произведение соответствующих операторов для каждой частицы, каждый
матричный элемент в выражении (20.39) равен произведению 2/ матричных
элементов ехр (- фф), взятых для матрицы ?><'/г> из (20.38). Для каждой
