Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
при классификации точечных групп.
336
Глава 20
Если две группы являются изоморфными или гомео-морфными и, таким образом,
имеют одинаковые структурные константы, то это можно выявить по
одинаковым диаграммам Дынкина. Так, например, группы и S(/4 имеют одну и
ту же диаграмму
Группы Э13 и SU2 представляются почти тривиальной диаграммой - одной
точкой. В проведенной выше классификации нет группы 5?4, поскольку она
имеет структурные константы, одинаковые с прямым произведением Э13хШ3, и,
значит, не является простой группой. Такая структура по существу
предполагается уже тем, что, положив 1 = 2 в диаграмме, соответствующей
группе мы получим две отдельные (несвязанные) точки (вершины), а именно
такая диаграмма и должна соответствовать группе 5?3х5^3.
Чтобы найти все корневые векторы, а следовательно, и перестановочные
соотношения по данной диаграмме Дынкина, нужно построить соответствующую
звезду, как говорилось выше в данном параграфе. Возьмем для примера
группу SU3 (гл. 11, § 6 и гл. 18, § 7). Диаграмма Дынкина для нее имеет
вид
что означает 1 = 2 при наличии двух одинаковых корней, удовлетворяющих
условию ое-р =-1/2. Следовательно, согласно формуле (20.29), звезда
содержит еще лишь сумму ое + Р (и, разумеется, соответствующие три
отрицательных корневых вектора); таким образом, всего имеется шесть
корней. Поскольку в этом случае 1 = 2, можно изобразить все корни в двух
измерениях; при этом, поскольку скалярное произведение а ф равно --г12,
угол между корневыми векторами равен 120° (рис. 20.1). Поскольку же угол
равен 120°, длины векторов ос, р и а + Р одинаковы. Разумеется,
полученный результат согласуется с рис. 11.3 для шести инфинитезимальных
операторов Т±, U±, V± (в обозначениях гл. 11). (Отношение масштабов по
двум осям на указанных рисунках различается в V3/2 раз; см. гл. 11, § 6.)
Наконец, чтобы получить перестановочные соотношения (20.26) - (20.28),
нужно выбрать базис
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 33Т
и, следовательно, определить Ht и Н2. Направим ось 2 вдоль вектора а, а
ось 1-перпендикулярно оси 2 (это согласуется с тем, что векторы сс и р-
простые положи-тельные корни). Образуя векторы единичной длины*.
Рис. 20.1.
получаем
[Н2, EJ = Еа, [Н2, Ер] = -~ Ер, [Н2, Еа+р] = ~ Еа+р* [Н,, Еа] = 0, [Н,,
Ер] = - 31/гЕр, [Нх, Еа+р] = ~ 3'/!Еа+р, [Еа, E_J = H2, [Ер, Е_э]=-
[Е"+р. Е_а_р] = ~Н2 + 1з'/2Н1.
Остающиеся перестановочные соотношения даются формулой (20.27), но
имеется неоднозначность в выборе нормировочных множителей, поскольку
относительные величины операторов Е еще не определены. Вообще говоря, это
можно сделать так, чтобы операторы Н были эрмитовы, а для операторов Е
выполнялось соотношение Е+ = - Е_а, причем постоянные величины N были бы
действительными. Это позволяет вывести общее условие AL"_p = -N ар и,
далее, из выражения для двойного коммутатора [[Е", Ер], Е_а_р] еще одно
условие = _"_э. Исполь-
зуя также тривиальное соотношение A/'ctp = - N&a, можно
.338
Глаза 20
• определить постоянные Na$ из формулы (20.31) (с точностью до фазового
множителя). В примере с группой SU3 это дает Na& = Y1U, откуда имеем
[Еа> Ер] = 1^1/2Еа+р, [Еа+р, Е_р] = ]/1/2Еа,
[Еа+р, Е_а]= j/'VgEg.
Как нетрудно убедиться, все эти перестановочные соотношения согласуются с
соотношениями (11.3), если положить
H2 = TZ> Hj = 1/2V^3Y, Еа = Т+/К2.
Ep = U+/j/2, Еа+р = V_/j/" 2.
В большей части данного параграфа рассматривались инфинитезимальные
операторы Хр или более удобные линейные комбинации Нг- и Е". Конечные
элементы группы образуются также (гл. 7, § 2) в виде экспоненциальных
функций действительных линейных комбинаций операторов Хр, правда, можно
определить и так называемое комплексное расширение группы Ли, допустив
комплексные значения коэффициентов в линейных комбинациях, содержащих Хр.
В унитарном представлении операторы Хр должны быть антиэрмитовыми (гл. 7,
§ 2), так что из всякого эрмитова оператора Нг можно получить
инфинитезимальный оператор, умножив его на Y-К Для каждой пары Е±а
имеется соответствующая пара антиэр-митовых инфинитезимальных операторов
i (Е" + Е_а) и (Еа--Е_,.). Заметим, что, строго говоря, Еа не является
инфинитезимальным оператором. Простейшим примером может служить группа
5?3, где (гл. 7) три инфинитезимальных оператора таковы:
Х,= -ilx= -+ X,= =
и Xz = - iJz.
Здесь Jz играет роль единственного оператора Н, а повышающий и понижающий
операторы J± соответствуют -операторам Е±а, как и должно быть в случае
группы ранга 1=1.
Дополнительные сведения (отдельные вопросы)___________339
По простым положительным корням и диаграммам Дынкина можно находить также
неприводимые представления групп Ли, что является обобщением метода,
которым мы пользовались ранее в гл. 7, § 4, п. Б и гл. 18, § 8.
§ 5. МАТРИЦЫ вращений;
Матрицы неприводимых представлений (D&m (R) для элемента R группы были
определены в гл. 7 в основном выражениями (7.39) и (7.40) для матричных
элементов инфинитезимального оператора J и соотношением
