Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
они соединены с одним корневым вектором р. Тогда никакие два вектора а,-
не могут быть соединены друг с другом без нарушения правила 2; таким
образом, корневые векторы сс,- должны быть попарно взаимно ортогональны:
ага] - 0(1ф}). Поэтому если бы мы, как и при доказа-
тельстве свойства 2, написали Р= + где1-а,-=0
i= 1
при всех г, то коэффициенты этого разложения давались бы соотношением а,
= р-а,-, причем
i=i
Очевидно, что для того, чтобы выполнялось условие |-|<0, должно
выполняться неравенство р^З.
4. Правилом 3 исключаются диаграммы, содержащие элементы
У
¦ и =р , "=: UMU
Рассуждения, приводящие к правилу 3, можно обобщить и показать, что если
в эти элементы вставить любое число однократных линий, например
"----Ц-. --В или
то возникает аналогичное противоречие. Отсюда следует вывод, что ни одна
из диаграмм Дынкина не может содержать более одного двойного соединения
^. " или вершина. *¦
и ни в одной диаграмме не могут содержаться одновременно двойная линия и
вершина.
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 333
Таким образом, возможны лишь четыре типа диаграмм Дынкина.
1. Цепочка из одинарных линий
2. Цепочка с одной двойной линией, причем p + q +
+ 21 = 1:
*tl *г ар ? Ли А Л А
••••••• * ц- ы ¦¦ т ............. >
(Несимметричные обозначения будут удобны далее при построении алгебры.)
3. Цепочка с одной вершиной, от которой в трех направлениях отходит
соответственно р, q и г корневых векторов, причем p + q + r + \ = l:
/1
(Углы между направлениями произвольны и не имеют значения.)
4. Одна тройная линия
На диаграммах типа 1 все простые корни имеют одинаковую длину и
соответствующую группу можно отождествить со специальной унитарной
группой SUl+1. Чтобы показать это, нужно построить с помощью диаграммы
перестановочные соотношения для инфинитезимальных операторов, а затем
сравнить их с перестановочными соотношениями для группы SUl+i (гл. 18, §
8); при этом ранг I может принимать любые целые значения. В случае
диаграмм типа 4 нельзя добавить ни одного корня, так как в противном
случае в одной вершине встречалось бы
334
Глава 20
более трех линий. Поэтому для диаграммы типа 4 существует только одна
группа, имеющая ранг 2-она обычно обозначается через G2; длины корней
относятся в этом случае как j 3:1.
В случае диаграммы типа 2 необходимо уточнить, в каком месте цепочки
находится двойная линия, т. е. чему равны р и q (без ограничения общности
можно выбрать p^q). Как и ранее, напишем
7 = i aiai + bfii + g,
i i
где = S-IK = 0, откуда
' V = X ai ("( • "у) = aj - T (aj+1 + aj -1) >
i
что приводит к аналогичному результату для р, ¦ у. Но "Уу== 0 всегда,
кроме случая, когда а -у = -1/2, откуда можно получить ар=-р/(р+1) и
аналогично Ь9 = - - V2 q/(q -f-1). Подставив эти значения в выражение
1 -2 О/ОС;-7-2 b$i -7=1 -арир• 7-64+iPe+1-7 =
?
= 1 + ~2ар-\- bq + x!V 2,
нетрудно получить условие p-g< 2 как следствие условия 1-|>0. Таким
образом, либо q - 0 при любом р, либо q - р- 1. Следовательно, диаграммы
типа 2 могут иметь общий вид
"1 "2 "1-2 7 Р
при любом I, или, в частном случае, когда I - 4, вида
В первом случае имеется две различные диаграммы Дынкина, поскольку, хотя
ос,- и 7 имеют одинаковую длину (они соединены одинарными линиями),
отношение квадратов длин векторов р и у должно быть равно 2. Таким
образом, длина корневого вектора р либо в У2 раз меньше, либо в У2 раз
больше длины других векторов. Первой
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 335
из этих двух возможностей соответствуют группы вращений нечетного порядка
5i2"+i. а второй-симплектическая группа Sp2t (о приложениях этих групп
см. гл. 18, § 10). Особая диаграмма с p = q = 1 соответствует группе Ё4.
Ограничения, налагаемые на значения р, q и г в диаграммах типа 3,
выводятся так же: величину б представляют в виде суммы по всем ос,-, 0,-
и у,., причем вектор 1 берется ортогональным пространству а,-, р;, у,-. В
этом случае вновь ар = - pi{p-\-1) с соответствующими выражениями для
других коэффициентов, причем %•% - - 1 + 1/г (аР + bq -J-сг). Тогда
условие 1-1 > 0 эквивалентно условию
р/(р+ 1) + <7/(<7+ l)-f-r/(r + 1) < 2. (20.34)
В.силу симметрии диаграмм можно без ограничения общности выбрать p'^q'^r,
причем г^1 (иначе диаграмма сводится к типу 1). Если начать с низших
значений q = = г= 1,тоиз условия (20.34) следует условие р/(р+ 1) = 1,
которое выполняется при всех р и приводит к диаграмм общего вида
У
_.............. ь/
"1 "г <xL 3
Такая диаграмма соответствует группам вращений четного порядка iAn. При
следующем значении q, а именно при <7 = 2 п г=1, условие (20.34) приводит
к неравенству Р/(Р + 1) < Ve, которое выполняется только при р = 2, 3 или
4. При больших значениях q и г вообще нет никаких решений. Таким образом,
имеются еще три особые группы Ев, Д7 и Es, соответствующие диаграммам
Дынкина
Интересно отметить совпадение решения неравенства (20.34) (иногда
называемого диофантовым) при г=1 с решением уравнения (9.3), возникавшего
