Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
три взаимно перпендикулярные оси второго порядка, иногда обозначают через
V. Группа D± не является новой, так как это просто группа С2, у которой
ось симметрии горизонтальна.
Выше говорилось, что любая другая собственная точечная группа должна
иметь две или более осей порядка п\ выясним теперь, какие из них
действительно возможны, рассмотрев группу с несколькими осями порядка п,
пересекающимися в центре сферы. Если отметить на сфере точки Pt, в
которых оси н-го порядка пересекают ее, та
254
Глава 9
в силу n-кратной вращательной симметрии относительно любой из осей точки
Рг будут вершинами правильного многогранника (полиэдра). Если теперь
соединить соседние точки Pt сегментами больших кругов на поверхности
сферы (ребрами), то мы получим на ней некоторую "сеть". На рис. 9.2
изображено подобное построение для случая десяти осей третьего порядка.
Имеется замечательная геометрическая теорема, доказанная Эйлером, о
соотношении между числом вершин В, числом ребер Р и числом граней Г у
построенной геометрической фигуры. Согласно этой теореме,
Рис- 9-2 В - Р + Г=2. (9.1)
Кроме того, следует учесть, что каждое ребро имеет на своих концах по две
вершины, а в каждой вершине пересекается п ребер, так что Р=иВ/2. Если
обозначить число ребер каждой грани через s, то, учитывая, что каждое
ребро принадлежит двум граням, мы получим также P=Ts/2, откуда nB=Ts.
Теперь можно переписать равенство (9.1) в виде
V~T + r=2 (9-2)
или
Поскольку величина Ts положительна, отсюда следует ограничение
111
т+т>т- (9-3)
При п=2 из (9.2) следует, что Г=2, и нетрудно сообразить, что подобная
процедура просто удвоит рассмотренные выше группы диэдра. При п>2 мы
получим возможности, перечисленные в табл. 9.1, где приведены также
соответствующие значения Г, В и Р. В последнем столбце таблицы указаны
названия правильных многогранников, образуемых точками Pt в каждом
случае. При 6 получаем s=2, и это вновь приводит нас к группам диэдра.
Полные группы симметрии для каждого
Точечные группы и их применение
255
Таблица 9.1
п > г в р Многогранник 'л
3 3 4 4 6 Тетраэдр
3 4 6 8 12 Куб
3 5 12 20 30 Додекаэдр
4 3 8 6 12 Октаэдр
5 3 20 12 30 Икосаэдр
из этих случаев будут включать помимо осей вращения и-го порядка и другие
элементы симметрии, о которых будет сказано ниже. Таблицы характеров этих
групп приведены в приложении 1 (т. 1).
Группа тетраэдра Т
Согласно первой строке табл. 9.1, через вершины тетраэдра, как показано
на рис. 9.3, проходят четыре оси третьего порядка. Очевидно, что
произведение вра-
Л ,
Рис. 9.3
щений вокруг осей третьего порядка эквивалентно вращениям вокруг осей
второго порядка, проходящих через центры противоположных ребер тетраэдра.
Например, если за поворотом на угол 2л/3 вокруг оси С на рис. 9.3
256
Глава 9
последует поворот на угол -2л/3 вокруг "вертикальной" оси А, то это
приведет к перестановке между собой пар осей А ш В, С и D. Такой
комбинированный поворот эквивалентен повороту вокруг оси второго порядка
Е. Никаких других поворотов при этом не возникает, так
что группа Т является по существу набором собст-у / венных операций,
преобра-
- / зующих в себя правиль-
ный тетраэдр.
Группа октаэдра О
Согласно второй строке таблицы 9.1, через противоположные вершины куба
(рис. 9.4) проходят оси вращений третьего порядка. Полная группа
симметрии, как и ранее в случае тетраэдра, будет включать в себя все
собственные операции, преобразующие куб в себя, так как именно эти
операции переводят друг в друга оси четвертого порядка. Новыми элементами
являются повороты вокруг осей четвертого порядка, проходящих через центры
противоположных граней, и вокруг осей второго порядка,проходящих Рст. о -
через центры противопо-
ложных ребер.
Та же группа элементов симметрии получается, если
начать с четвертой строки табл.
9.1,
соответству ющеи
октаэдру; при этом никакие новые элементы симметрии не возникают. На рис.
9.5 изображен октаэдр, вписанный в куб, что наглядно демонстрирует
эквивалентность их симметрий; по этой причине группа носит название
группы октаэдра.
Точечные группы и их применение
257
Группа икосаэдра У
Группа, соответствующая третьей строке табл. 9.1, обладает осями вращений
третьего порядка, проходящими так, как показано на рис. 9.6. Полная
группа симметрии содержит вновь все собственные операции, преобразующие
додекаэдр в себя. Новыми элементами являются повороты вокруг осей пятого
порядка, проходящих через центры противоположных граней, и осей второго
порядка, проходящих через середины противоположных ребер додекаэдра.
Как и ранее, та же группа симметрии получится, если начать с икосаэдра
(пятая строка табл. 9.1); на рис. 9.7 изображен додекаэдр, вписанный в
икосаэдр.
Б. Несобственные группы
Несобственные группы образуются путем добавления несобственного элемента
S" к описанным выше собственным группам. Это должно быть сделано так,
чтобы не возникало ни одного нового собственного вращения, во избежание
