Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 90

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 122 >> Следующая

построить и полную таблицу характеров (табл. 9.4), заметив, что мы уже
272
Глава 9
Таблица 9.4
Е Ё 2 с\ 2с4 2С" 4С*
А, 1 1 1 1 1 1 1
а2 1 1 1 1 1 - 1 -1
Вг 1 1 1 -1 -1 1 -1
В 2 1 1 1 -1 - 1 -1 1
Е 2 2 -2 0 0 0 0
Ei 2 -2 0 V2 -V2 0 0
Е 2 2 -2 0 -V2 V 2 0 0
располагаем пятью неприводимыми представлениями одинарной группы D4,
которые образуют также представления двойной группы с %(Ga)=%(Ga) и имеют
размерности 1, 1, 1, 1 и 2. Если размерность двух новых неприводимых
представлений равна s6 и s7, то, согласно формуле (4.33),
16=l2 + l2+l^-f 12 + 2 2 + s* + s27,
так что 8=Se+s2 и единственное возможное решение дает s6=s,=2. Отсюда мы
сразу получаем характеры Е и Б, и остающиеся значения для 2С4 и 2С4 легко
находятся из соотношений ортогональности (4.25) и (4.36).
Структуру классов и неприводимые представления двойных несобственных
точечных групп можно получить из соответствующей структуры для
собственных, пользуясь теми же методами, что ив§4,п.Бив§6. Группы,
содержащие инверсию, вновь могут быть представлены в виде прямого
произведения с группой S2, а группы, не содержащие инверсии, изоморфны с
некоторыми двойными собственными группами. Заметим, что если инверсия
имеется, то она коммутирует со всеми элементами группы и, как и ранее,
удовлетворяет соотношению 12= =Е, но отражение о дает теперь
a2 = (1С2)2 = ECjf= Ё,
откуда о4=Е.
Точечные группы и их применение
273
Полная сводка таблиц характеров для всех кристаллографических двойных
точечных групп приведена в приложении 1 (т. 2).
§ 8. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И МАГНИТНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
В гл. 5, § 10 был введен оператор обращения времени Г, который является
оператором симметрии для гамильтонианов многих физических систем. В
случае кристаллической системы с симметрией относительно обращения
времени полная точечная группа симметрии будет представлять собой прямое
произведение обычной точечной группы на тождественное преобразование и
обращение времени (последнее коммутирует со всеми операциями точечной
группы). Заметим, однако, что данное утверждение может быть верным только
для немагнитных кристаллов, поскольку оператор Г меняет на обратное
направление токов и спинов, а следовательно, и направление
намагниченности в магнитоупорядоченных кристаллах. Тогда магнитные
кристаллы должны были бы обладать симметрией только обычной точечной
группы. Но это не всегда так, поскольку некоторые магнитные кристаллы
могут быть инвариантными относительно произведения операции Г на
некоторое вращение, хотя они не инвариантны относительно операции Г.
Например, в ферромагнитном кристалле с намагниченностью вдоль оси z
операция Г может быть операцией симметрии (здесь R - поворот на угол я
вокруг оси х), поскольку R меняет направление намагниченности на
противоположное, а Г восстанавливает исходное положение. Группы симметрии
этого типа, содержащие операцию обращения времени лишь в комбинации с
вращением или отражением, называются магнитными точечными группами; таких
групп существует всего 58 (см. книгу Брэдли и Крекнел-ла). Эти группы
называются также цветными или шубни-ковскими, так как А. В. Шубников
впервые изучал их, рассматривая симметрию правильных твердых
многогранников с "цветными" (черными и белыми) гранями. Он
.274
Глава 9
включил в число допустимых операцию смены цветов, которая аналогична
операции обращения времени) 1).
Рассмотрим в качестве примера ферромагнитный кристалл, который (если
отвлечься от операции обращения времени) описывается группой симметрии
D3. В магнитно-разупорядоченном состоянии выше температуры перехода TN
(при которой устанавливается магнитный порядок) добавление обращения
времени приводит к большей группе симметрии Z)3X {Е, Г} ввиду отсутствия
магнитного момента. Ниже температуры TN кристалл становится
ферромагнитным, причем его магнитный момент направлен вдоль оси третьего
порядка. Поскольку три поворота С2 на угол л вокруг осей в плоскости ху
приводят к обращению направления намагниченности, они не являются более
операциями симметрии; то же относится и к обращению времени Г. Однако
произведения ГС2 сохраняют значение операций симметрии, причем новая
группа симметрии включает в себя операторы Е, С3, С! и три оператора ГС2,
содержащие обращение времени. Заметим, что магнитная точечная группа
содержит подгруппу С3 исходной точечной группы D3 и в терминологии т. 2,
гл. 20, § 3 группа С3 является нормальной подгруппой с индексом 2 группы
D3. Можно показать, что этим свойством (наличие нормальной подгруппы с
индексом 2) обладают все магнитные точечные группы и это условие
позволяет построить все 58 таких групп. Обозначение таких групп
иллюстрируется на приведенном выше примере, в котором принято записывать
D3(C3).
Мы не будем рассматривать здесь неприводимые представления ни
произведения групп на обращение времени, ни магнитных точечных групп
ввиду их сложности (см., однако, книгу Брэдли и Крекнелла). В первом
случае следует различать представления точечных групп, которые а)
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed