Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
осью максимальной симметрии).
А. Собственные точечные группы Группы Сп
Поскольку эти группы являются абелевыми, каждый элемент сам по себе
является классом.
Точечные группы и их применение
261
Группы Dn
Наличие дополнительных осей второго порядка приводит к тому, что элементы
Ср и С^р попадают в одпн класс; такие осп называют двусторонними. (Эти
элементы не различаются, если р=п/2 при четном п, поскольку тогда Ср есть
поворот на угол л.) При нечетном п все повороты на угол л вокруг
горизонтальных осей относятся к одному классу, однако при четном п
операции поворотов вокруг двух последовательных осей второго порядка
попадают в два неэквивалентных класса. Например, для группы /)4 классами
являются Е, 2С4, С|, 2С2, 2Са, а для группы Db - Е, 2С5, 2С|, 5С2.
Группа тетраэдра Т
Для этой группы все повороты на угол л переводят оси второго порядка друг
в друга. Из восьми поворотов на угол 2л/3 не все принадлежат одному
классу, но разделяются на два класса по четыре элемента в каждом (этими
элементами можно считать повороты по и против часовой стрелки вокруг
четырех осей третьего порядка). При этом повороты, в результате которых
ось становилась бы двусторонней, отсутствуют; группа состоит из следующих
классов: Е, ЗС2, 4С3, 4Сд.
Группа октаэдра О
Восемь поворотов на угол 2л/3 принадлежат одному классу, поскольку
имеется поворот на угол л вокруг оси, перпендикулярной каждой оси
третьего порядка, который и делает эти оси двусторонними. Указанные шесть
поворотов на л принадлежат одному классу, но отличаются от трех других
поворотов на л вокруг осей четвертого порядка. Таким образом, группа О
разбивается на классы Е, 8С3, ЗС|, 6С2, 6С4.
Группа икосаэдра Y
В этой группе имеется шесть двусторонних осей пятого порядка, пятнадцать
осей второго порядка и десять двусторонних осей третьего порядка. Эта
группа имеет следующее разбиение на классы (см. книгу Мурнагана): Е, 12С"
12CJ, 15С2, 20С3.
262
Глава 9
Б. Несобственные точечные группы
Прежде чем подробно рассматривать несобственные точечные группы, отметим
общие особенности их структуры. Прежде всего, произведение двух
несобственных элементов является элементом собственным. Действительно,
детерминант несобственных вращений равен -1 (гл. 7, § 4), а их
произведение должно иметь детерминант +1; следовательно, оно должно быть
собственным вращением. Аналогично произведение несобственного п
собственного элементов должно быть несобственным элементом. Рассмотрим
теперь несобственную группу 3, элементы которой разделены на два
множества: собственные элементы Ж и несобственные Ж, так что можно
нанпсать 3=Ж~\~(Х-Умножив обе части этого равенства на какой-либо
несобственный элемент К,-, по теореме о перечислении групп (гл. 2, § 9)
получим
Поскольку элементы КгН являются несобственными, а КгК - собственными, мы
имеем КгН=К, а КгК=Н, что позволяет написать
Если в качестве одного из несобственных элементов в группе имеется
инверсия I, то можно выбрать Кг = 1 и, учитывая коммутативность I со
всеми другими элементами группы, записать группу 3 в виде прямого
произведения {Е+1} =ЖхЯ2. Если группа не
содержит инверсию, то ее все же можно записать в виде прямого
произведения 3=Ж X {Е+КД, если существует несобственный элемент Кг,
коммутирующий со всеми элементами группы. Кроме того, если инверсия
отсутствует, группа 3 изоморфна группе 3'=Ж+\Ж, которая является
собственной точечной группой, поскольку IK - собственное вращение. Чтобы
установить этот изоморфизм, заметим, что, поскольку I не содержится в 3,
элементы группы 1К j не могут совпадать ни с одним элементом группы Ж.
Далее можно элементарно доказать искомый изоморфизм, ассоциируя элемент
IК7- группы 3' с элементом группы 3 и учитывая, что все элементы группы Ж
являются общими
G = K,-G = K(-H-1-K1.K.
(9.4)
G = H + K,H.
(9.5)
Точечные группы и их применение
263
для обеих групп; например, если H^Kj=Km, то, следовательно,
He(IK/)=IH,KJ=(IK т). Используем далее эти свойства для разбиения на
классы несобственных точечных групп.
Группы S2n
Эти группы - циклические порядка 2п, причем каждый их элемент образует
отдельный класс. При нечетном п эти группы можно записать в виде прямого
произведения групп, так как они содержат инверсию: в этом случае
^2m+i^^2*
Группы Cnh
Отражение в горизонтальной плоскости коммутирует с поворотами на угол
2я/re, так что группы Cnh являются абелевыми и каждый элемент этих групп
образует отдельный класс. При четном п в группы входит инверсия и их
можно записать в виде прямого произведения C2mh = = C2mXiS2. При нечетном
п группы Cnh также йогут быть записаны в виде прямого произведения групп
Сп и Si (последняя состоит только из единичного элемента и отражения о):
C2m_l_1/l=C2m+1 X Si.
Группы Cnv
Входящее в эти группы отражение в вертикальной плоскости не коммутирует с
поворотами на угол 2я/га, так что группы Cnv не являются абелевыми,
например: Сhov = ovCnk. Последнее равенство показывает также, что
