Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что для понимания эффекта расщепления достаточно учесть лишь
взаимодействие между валентными электронами, а потому нужно рассмотреть
лишь определители для t валентных электронов. Можно показать, что
взаимодействие между двумя электронами в заполненных оболочках или между
электроном, находящимся в заполненной оболочке, и валентным электроном
приводит к одинаковому сдвигу энергий всех состояний тг7?г3 валентных
электронов.
Как отмечалось выше, возмущение Hi инвариантно относительно вращений
порознь в координатном и спиновом пространствах, так что Нх коммутирует с
обоими
Угловой момент, и группа 91з
237
наборами операторов Lg и Sq. Можно даже рассматривать Lg как
инфинитезимальные операторы одной группы 91 з, a Sq - другой такой же
группы. Набор из шести инфинитезимальных операторов Lg, Sq описывает
группу, являющуюся прямым произведением групп
ее неприводимые представления отмечаются парами индексов L и S,
соответствующими каждой из групп-сомножителей (гл. 4, § 21). В теории
возмущений для вырожденного уровня (гл. 5, § 8) мы должны снабдить
матрицу оператора Hi наборами определителей, каждый из которых вырожден
по отношению к невозмущенному гамильтониану Н0. Но так как оператор Н*
инвариантен по отношению к данному произведению групп, при использовании
базисных векторов, принадлежащих неприводимому представлению <-D(?S)
этого произведения, матрица гамильтониана Hi разобьется на меньшие
матрицы с индексами LS, причем матричные элементы между состояниями с
разными индексами LS будут равны нулю. Кроме того, будет отсутствовать
связь между состояниями с разными значениями ML и Ms и будет существовать
вырождение кратности (2L+1) (25+1), соответствующее размерности
представления D(iS>. Вопрос о том, какие значения L и S могут возникать
при заданных значениях I и t, довольно сложен; мы кратко рассмотрим его в
п. Г. Еще более сложной задачей является фактическое вычисление матричных
элементов гамильтониана Hi (случаи t-2 и t=3 см. в т. 2, приложение 5).
Вообще говоря, состояния с определенными значениями L и S представляют
собой весьма сложные суммы детерминантов Слэ-тера, и их обычно в таком
виде не выражают.
Рассмотренная выше ситуация носит название LS-связи. Набор из (2Z/-f-l)
(2jS-j-1) состояний с данными L и S часто|называют термом. Рассмотрим
теперь действие возмущения Н2, предполагая, что оно достаточно мало и не
вызывает смешивания между различными собственными значениями матрицы
гамильтониана Hi- Тогда действие возмущения Н2 сводится к расщеплению
(2L+ +1) (25+1)-кратного вырождения, или с точки зрения теории групп к
сужению группы симметрии от 91\ X 54 f до группы 91 з одновременных
вращений пространствен-
238
Глава 8
ных и спиновых переменных, которая описывается ин-финитезимальными
операторами Jg=Lg+Sg. Возмущение Н2, не будучи инвариантным относительно
произведения групп, инвариантно относительно группы одновременных
вращений. Это следует из равенства [Jq, i-s]=0, которое вытекает
непосредственно из перестановочных соотношений для I и s (с учетом того,
что операторы I и s коммутируют; задача 8.4). Таким образом, уровни с
кратностью вырождения (2L+1) (25+1) расщепляются на уровни с кратностью
вырождения 2/+1, отмеченные значениями индекса J
/ = (L + 5), (L+5-1), ..., |L-5|. (8.38)
Эта формула для возможных значений J - не что иное, как обычное правило
векторного сложения (8.9), поскольку при одновременном вращении
представление D(IS> есть просто произведение представлений Оа>0О<5)
группы 91 s. Простое выражение для зависимости этого расщепления от J при
фиксированных значениях LS можно получить на основании теоремы Вигнера -
Эккарта. Обозначим через а все индексы волновой функции, кроме LS и /;
тогда расщепление, обусловленное возмущением Н2, дается выражением
А / = <.aLSJM 2 i (r,) I/ • s( aLSJMy =
i
= Aais <a LSJM ] L • S | a LSJMy = = | A aLS {J (J + l)-L (L +1)-5 (5
+1)}. (8.39)
Здесь мы воспользовались тем, что произведение L • S, вообще говоря, не
пропорциональное спин-орбитальному взаимодействию, обладает все-таки теми
же трансформационными свойствами по отношению как к 91з, так и к 91§.
Доказать справедливость такого вывода выражения
(8.39) можно методами, изложенными в гл. 7, § 4, п. Ж. Постоянные
Aais нельзя вычислить, не зная точного вида волновых функций, но
зависимость от / дается, очевидно, выражением (8.39). В частностп, уровни
энергии упорядочены по / и их разности даются выражением
Aj-Д/-1 = *2- AaLs {J {J + 1) - {J-1 )J}-JA01ls-
Угловой момент и группа 5is
239
Эта формула известна под названием правила интервалов Ланде. Вообще
говоря, величины AaLS положительны (одного знака с ?), когда оболочка
занята менее чем наполовину, и отрицательны в противоположном случае. Это
означает, что наименьшее значение |L - 5| числа / соответствует
минимальной энергии в нижней половине оболочки, а наибольшее L + S - в
верхней. Эти выводы иллюстрируются в п. Г в случае двух и трех валентных
