Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
удвоения группы. В случае групп Сп, обладающих единственной осью
собственных вращений, можно добавить в качестве несобственного элемента
отражение в горизонтальной или вертикальной плоскости, не приводящее ни к
какому собственному вращению. Так могут быть получены две новые точечные
группы Cnh и Cvn.
Рис. 9.7
258
Глава 9
Группы Cnh
Эти группы образуются добавлением отражения в горизонтальной плоскости оЛ
к группе Сп. Они содержат в качестве элемента инверсию, если порядок п
четный, так как при этом С)/2"<та=1.
Группы C"v
Эти группы образуются добавлением отражения в вертикальной плоскости av к
группе Сп, что автоматически ведет к появлению п вертикальных плоскостей
зеркального отражения. Разумеется, между группами Clh и Clv нет никакого
различия, так как каждая из них содержит лишь по одному отражению и
единичному элементу.
Группы S2n
В частном случае к группе С1 (сводящейся просто к единичному элементу)
можно добавить любой из элементов Sр и получить группу Sp с единственной
осью порядка р для зеркальных поворотов. При этом, однако, группы Sp с
нечетным р тождественны группам Cph, так как они содержат Ср и oh в
качестве элементов. Это доказывается тем, что Sgfl=
(CJ)a/l)P+1=Cpp+1a^+1=CJ) при нечетных р, и, следовательно, группа Ср
включена в Sp. Аналогично S?= (Cpoh)P=Cppoph=oh при нечетных р, а значит,
ah также содержится в Sp. В случае четных р=2п (п целое) образуется новая
группа S2n. При этом, если п нечетное, группа S2n содержит в качестве
своего элемента также инверсию, поскольку S2"=C2?0ft=020^=1; в частности,
группа S2 содержит только единичный элемент Е и инверсию I. Группы S2n
являются циклическими группами порядка 2п и состоят из элементов S2n,
S|п, . . ., S!(tm)=E.
В случае групп Dn можно аналогичным образом добавлять горизонтальные и
вертикальные плоскости отражения.
Группы Dnh
Эти группы образуются добавлением отражения в горизонтальной плоскости ah
к группам Dn\ согласно
Точечные группы и их применение
259
правилу 3 из § 1, в этом случае должны существовать также вертикальные
плоскости отражения, содержащие все п горизонтальных осей второго
порядка.
Группы Dnd
Эти группы образуются добавлением отражения в вертикальной плоскости av,
причем эта плоскость делит пополам угол между двумя соседними
горизонтальными осями второго порядка. Дополнительные п - 1 плоскостей
этого типа образуются, конечно, вращением на углы, кратные 2л!п\
соответствующие отражения обозначаются через ad, где индекс d, как и в
обозначении Dnd, означает "диагональный". Эти группы можно рассматривать
как результат добавления "горизонтальной" оси второго порядка к группам
S2n.
Рассмотрим далее несобственные группы, образованные из групп Т, О, Y
добавлением несобственных элементов.
Полная группа тетраэдра Тd
Она включает в себя все собственные и несобственные операции,
преобразующие тетраэдр в себя; эта группа образуется добавлением к группе
Т плоскостей отражения, проходящих через пары вершин тетраэдра и середину
противоположного ребра. Существование шести таких плоскостей отражения,
перпендикулярных осям второго порядка, означает наличие шести зеркальных
поворотов S4 вокруг этих осей.
Группа Th
Эта группа образуется добавлением к группе Т операции инверсии. Инверсия
не является операцией симметрии для тетраэдра и потому не содержится в
Тd. Группа Тh есть прямое произведение групп Т и S2, т. е. Тъ.=Т X 5а.
Полная группа октаэдра Оh
Эта группа образуется добавлением к группе О инверсии I. Поэтому группа
Oh является прямым произ-
260
Глава 9
ведением групп О и S2(Oh=OxS2)- Группа Oh включает в себя все собственные
и несобственные операции симметрии, преобразующие в себя куб или октаэдр.
Группа Yh
Эта группа образуется добавлением инверсии к группе Y и, таким образом,
равна прямому произведению групп Y и S2(Yh-Y XSz). Она является полной
группой, включающей в себя все собственные и несобственные операции
симметрии, преобразующие икосаэдр или додекаэдр в себя.
§ 4. СТРУКТУРА КЛАССОВ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
Для упрощения построения неприводимых представлений точечных групп
методами, изложенными в гл. 4, разобьем прежде всего элементы групп на
классы, используя частично результаты гл. 2, § 6 и 7. Классы обозначаются
по типичному элементу, принадлежащему этому классу, поскольку все
элементы данного класса - это вращения на один и тот же угол (например,
поворот Сп или зеркальный поворот S^). Перед обозначением типичного
элемента указывается число элементов в классе. Если элемент класса
представляет собой т-ю степень поворота Сп вокруг оси порядка п, то он
обозначается символом (Cn)"=C(f, перед которым ставится число элементов
класса. Вместо обозначений Si и Sj обычно используются символы а и I,
причем индекс у а показывает, относительно какой плоскости
(горизонтальной или вертикальной) происходит отражение. Если имеется
несколько неэквивалентных классов вращений Сп, то они различаются
штрихами или индексами, обозначающими ось вращения (обычно ось z является
