Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 80

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 122 >> Следующая

функ-
242
Глава 8
ции. В случае трех частиц следует точно так же использовать группу of з
всех перестановок трех объектов. Эта группа была введена в гл. 2, § 2
(пример 10), и был показание изоморфизм точечной группе D3 (гл. 2, § 3;
гл. 2, §а7, п. В). Следовательно, она имеет таблицу характеров,
совпадающую с приведенной в табл. 4.2 для D3 (табл. 8.1).
Таблица 8.1
Е /1 2 3\ /12 3\ 12 3 1/' 13 1 2/ ^12! Р*3" ^31
Т<Я 1 1 1
т"0 1 1 -1
Т(/я) 2 -1 0
Для ^различения неприводимых представлений мы введем индексы s, а, т,
соответствующие симметричному, антисимметричному и смешанному
представлению. Представление T(s) является единичным, а потому оно
симметрично по отношению к любым перестановкам. Представление Т(а)
является] антисимметричным, поскольку любая парная перестановка приводит
к изменению знака. Заметим, что элементы второго класса, подобные (I |
j1), являются произведением двух парных перестановок T(J 1 i)=Pi3Pi2 и
потому имеют индекс +1 в таблице для Т(а>. Двумерное представление Т('в)
обладает 'базисными функциями, которые не являются ни симметричными, ни
антисимметричными; оно называется просто смешанным. (Для группы ofn с п>3
имеется более одного типа смешанных представлений, и их следует отмечать
более сложными индексами; т. 2, гл. 17.)
Пользуясь таблицей характеров, можно проанализировать (как в гл. 4, § 17)
разложение произведения представлений, и тогда оказывается, что Т(а)
входит только в произведения
T<s>(g)T<a\ T<a>(r)T<s>, ТГОфТМ. (8.41)
Следовательно, полностью антисимметричную волновую функцию для трех
электронов можно построить из отдельных орбитальной и спиновой частей
только при
Угловой момент и группа
243
условии, что эти части преобразуются согласно представлениям (8.41).
Перейдем теперь к определению возможных значений L и 5, связанных с
перестановочной симметрией (по аналогии со случаем двух электронов).
Вообще говоря, поскольку операторы L± (и 5±) симметричны, при данном
значении L (или 5) состояния с разными ML (или Мs) обладают одинаковой
перестановочной симметрией.
Если частицы 1 и 2 в силу векторной связи дают 5 = 1Г то связь с частицей
3 может дать 5=3/2 и S=l/2. Если же частицы 1 и 2 дают 5=0, то за счет
частицы 3 возникает другое состояние - с S-1/2. Учитывая мультиплетность
состояний 25+1, мы получаем правильное полное число состояний 23=8.
Рассуждая так же, как и в случае двух частиц, приходим к выводу, что
четыре состояния'с 5=3/2 должны быть симметричными. Этим и исчерпывается
число симметричных состояний, поскольку в общем случае число симметричных
тройных произведений, которые можно образовать из п разных одночастичных
состояний, равно 1/йп (п-\-1) (я+2); при п=2 это число равно четырем.
Аналогично число антисимметричных состояний равно 1/6п(п-1)(п-2), причем
при п=2 оно равно нулю. Это и понятно, если имеются только два
одночастичных состояния, поскольку в этом случае две частицы из трех
должны были бы находиться в одинаковых состояниях, так что антисимметрия
невозможна. Поэтому состояния с 5=1/2 обладают смешанной симметрией, и
то, что таких состояний должно быть два (в дополнение к мультиплетности
25+1), можно было сказать заранее, так как представление Т(Я!> двумерно.
Аналогичные рассуждения для орбитальных состояний показывают, что при Z=1
имеется одно антисимметричное состояние; поэтому оно должно иметь L=0 и
соответствует просто определителю, построенному на трех одночастичных
состояниях с т== 1, 0, -1. По правилу векторного сложения 33=27 состояний
следующим образом подразделяются по значениям L: 5+3P+2Z)+A, причем вновь
F-состояние как состояние с максимальным L должно быть симметричным.
Однако общее число симметричных состояний равно теперь 1/6Х3х4х5 = 10;
это указывает на то, что одно из Р-состояний 'также должно быть
симметричным. Поэтому остающаяся пара
244
Глава 8
Р- и D-состояний должна обладать смешанной симметрией.
Объединяя эти выводы с помощью формулы (8.41), мы заключаем, что,
например, для атома азота (Z-1) с тремя валентными р-электронами
возможные термы таковы: iS, 2Р и 2D. Для детального построения волновых
функций последних двух состояний необходимо использовать коэффициенты
Клебша - Гордана для группы df3 при разложении произведения представлений
ТСт) @ Т<и) с целью образования антисимметричной функции.
Результаты, полученные выше в какой-то мере искусственно, могут быть
получены также путем использования характеров симметризованных
произведений (т. 2, приложение 3, §. 1; см. также гл. 18, § 10).
Обобщение на случай большего числа валентных частиц, будучи в принципе
простым, оказывается более ^трудоемким.
Д. Упорядочение термов
Чтобы вычислить относительные энергии w различных возможных термов на
основе описанных ниже методов, в частности чтобы найти значения S и L
основного состояния, необходимо вычислить матрицу возмущения Hi в этих
состояниях. В простых примерах, приведенных выше, имелось не более одного
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed