Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
р-электронов.
Действие магнитного поля на атом с многими электронами выражается в том,
что к гамильтониану добавляется слагаемое
HMar" = (Lz + 2Sz)SpB,
полученное суммированием слагаемых вида (8.29) по всем электронам. Это
приводит к расщеплению уровня / с (2/+1)-кратным вырождением. Поскольку
оператор Нмагн является z-компонентой вектора, в силу теоремы Вигнера'-
Эккарта его матричные элементы (как и в § 5) пропорциональны матричным
элементам оператора для "состояний из данного /-мультиплета. Поэтому
можно написать, что
Чмагн = &J
В теории /5-связи константу gj, называемую g-фактором Ланде, при данных L
и S можно вычислить по формуле
(8.32):
gj= у + [5 (S +1) -L (L +1)]/2/ (/ +1). (8.40)
Поэтому расщепление /-мультиплета пропорционально величине <J ХУ=МЛ и
собственные состояния отмечаются индексом М. Благодаря наличию формулы
(8.40) экспериментально измеренное расщепление дает информацию о L и S.
Г. Классификация термов
Атомы с двумя валентными электронами
Если атом состоит из замкнутых оболочек и содержит всего два валентных
электрона в состояниях с орбитальным угловым моментом i, то в
соответствии с обычным
240
Глава 8
правилом векторного сложения единственными возможными значениями L и 5
могут быть L-0, 1, 2, . . 21
и 5=0, 1. Но не все комбинации этих значений L и 5 оказываются
разрешенными, когда на волновую функцию налагается необходимое условие
антисимметрии. Как будет показано ниже, состояния с четными L симметричны
относительно перестановки орбитальных координат, а состояния с нечетными
L - антисимметричны. Будет показано также, что относительно перестановки
спиновых переменных двух частиц состояния с 5 = 1 являются симметричными,
а состояния с 5=0 - антисимметричными. Таким образом, для полностью
антисимметричных состояний разрешенными являются следующие комбинации:
5=1 при нечетном L и 5=0 при четном L.
Для состояний с данными L и 5, которые иногда называют термами, принято
обозначение 2S+1L. Индекс 25+1 называют мультиплетностью терма, поскольку
им определяется число уровней /, на которые расщепляется терм при
включении возмущения Н2[формула (8.38)]. Так, в случае двух валентных
электронов с Z=1 (например, в атоме углерода с Z=6) должны быть термы
3Р,15 и 1D (здесь мы по-прежнему пользуемся спектроскопическими
обозначениями 5, Р, D. . . для L=0, 1, 2, . . .). Учет возмущения Н2 не
может привести к расщеплению "синглетных" термов х5 и И), поскольку при
5=0 имеется единственная возможность J-L. Однако "триплетный" терм
расщепляется на три уровня с /=2, 1 и 0, энергии которых даются формулой
(8.39); уровни представлены на рпс. 8.2.
Доказательство перестановочной симметрии двухчастичной волновой функции
Здесь мы выведем указанное выше соотношение между значениями L и 5 для
двух электронов и симметрией по отношению к независимой перестановке
координатных и спиновых "переменных этих электронов. Рассмотрим
Угловой момент и группа
241
сначала возможные координатные волновые функции. Если у двух частиц
одинаковые наборы одночастичных индексов nl, то двухчастичные волновые
функции могут отмечаться либо индексом пгргса в базисе простого
произведения, либо индексом LM, где L=2l, 21-1, ...,1,0, в связанном
базисе. Заметим, что состояние с максимальным значением M=L~2l
соответствует простому произведению с тх=т2=1 и поэтому является
симметричным: обе частицы находятся в одном и том же состоянии. Поскольку
понижающий оператор L_ = l_ (1)+Z_ (2) тоже симметричен, ясно, что все
состояния с максимальным значением L=2l и любыми значениями М тоже
симметричны. Рассмотрим далее состояния с М=21-1. В базисе простых
произведений имеются два таких состояния: с т.х - 1, т2 = 1-1 и с т± = 1-
1, тг = 1; в связанном базисе они будут различаться индексами L-21 и L-
21-1. В базисе простых произведений оператор перестановки Р12 просто
меняет местами два состояния, так что ему соответствует матрица (J J) с
нулевым характером. Отсюда мы заключаем, что и в случае связанного
базиса, в котором состояние с L=2l симметрично, состояние с L=2l-1 должно
быть антисимметричным, чтобы обеспечивалось равенство нулю характера.
Продолжая такие рассуждения, мы видим, что при М=21-2 имеется набор из
трех состояний, причем характер матрицы равен 1, так что состояние с L-
21-2 симметрично. Обобщая данный результат, мы приходим к выводу, что
состояния с четным L симметричны, а с нечетным - антисимметричны.
В случае полуцелого спина s аналогичные рассуждения показывают, что
состояние с максимальным спином S=2s вновь симметрично, со спином S-2s-1
антисимметрично и т. д. Но поскольку s - полуцелое, это означает, что
нечетным S соответствуют симметричные состояния, а четным -
антисимметричные. В частности, для электрона с s=1/2 двухчастичное
состояние с ? = 1 является симметричным, а с S- 0 - антисимметричным.
Атомы с тремя валентными электронами
Классификация термов двух валентных электронов была установлена путем
анализа перестановочной симметрии орбитальной и спиновой частей волновой
