Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
то они, очевидно, приведут к ограничению числа возможных точечных групп
пространственных решеток следующими семью: S 2, C2h, D2h, D3d, Dih, D6h,
О. Эти семь различных решеточных симметрий, или сингоний, носят названия
триклинной, моноклинной, орторомбической, ромбоэдрической,
тетрагональной, гексагональной и кубической.
Для простых одноатомных кристаллов (с одним атомом в элементарной ячейке)
указанные семь групп являются единственно возможными кристаллическими
точечными группами. Для более сложных кристаллов, у которых с каждой
точкой решетки связана молекула или несколько атомов, симметрия понизится
до той подгруппы, которая оставляет все эти объекты инвариантными. Таким
образом, полный набор всех возможных кристаллографических точечных групп
будет включать в себя указанные семь групп совместно со всеми их
подгруппами. Таких групп всего 32, именно: Сг, Сlh, Сп, Cnv, Cnh, Dn, Dnh
с n=2, 3, 4, 6; S2, Sit S6, D2d, D3d, T, Td, Th, O, Oh. В этом списке нет
символов Clv, Dlt Dih, Si и S3, но обозначаемые ими группы совпадают с
группами Cihi С2, С2гI, Ci/i и С3h.
Точечные группы и их применение
267
§ 6. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
После разбиения точечных групп на классы, можно, следуя гл. 4, построить
неприводимые представления этих групп. В частности, введенными в гл. 4
методами можно определить их характеры. Поскольку 32 кристаллографические
точечные группы часто встречаются в задачах физики твердого тела, в
приложении 1 даны таблицы характеров для 11 собственных точечных групп и
групп, изоморфных им. Все остальные группы, как указано выше, можно
получить в виде прямых произведений с группами или S2. Указанные
изоморфизмы и результаты взятия прямых произведений перечислены в табл.
9.2. Все 32 кристаллографические точечные группы приведены в первых трех
строках табл. 9.2; оставшиеся две строки содержат другие полезные
соотношения. При построении таблицы характеров нам понадобится лишь
первая строка табл. 9.2. Первые пять групп в этой строке являются
циклическими абелевыми с тривиальными одномерными представлениями (гл. 4,
§ 8). С неприводимыми представлениями группы D3 мы уже
Таблица 9.2
Собственная
точечная Сх Сг с% Сд с. Г>2 Г>3 Г>4 De T О
Прямое произведение групп
$XS2 S2 С2/г Sq СD2h Dzh DAh Z)6^ Th Од
Несобственная группа, не содержащая инверсию I и изоморфная груп-
ne g St C3fl
^2v C3v Civ Сqv T a
Did D3fl
Другая несобственная группа, изоморфная
группе g S2 Se Cih D3d
Прямое произведение групп
Sf Cih
Сзh Cih з h Dih Deh
268
Глава 9
встречались в гл. 4, § 10. Группа D2 изоморфна группе C2h=C2xS2, а группа
De - группе D3h=D3XSi (она может быть записана также в виде D3=D3xC2; см.
задачу 2.7). Поэтому единственные таблицы характеров, которые необходимо
составлять заново,- это таблицы для групп Dit Т и О.
В пределе при га-*-оо группа Сп стремится к непрерывной группе Si2 (гл.
7, § 3). Аналогичные пределы существуют для групп Cnv, Cnh, Dn, Dnh при
n-+ oo; они обозначаются через х) Cxv, Cah, D" и D^. Группа C"v
получается из SA2 добавлением любой вертикальной плоскости отражения, что
приводит к появлению и всех остальных возможных плоскостей. Нетрудно
убедиться в том, что вся бесконечная совокупность отражений в
вертикальных плоскостях принадлежит одному и тому же классу. Как и при
конечных п, повороты на углы а и -а образуют класс из двух элементов.
Соотношение ot,R(a)=R(-a)o.v, справедливое для любого отражения в
вертикальной плоскости, означает, что произведение вращения и отражения в
точности равно отражению в плоскости, повернутой на половинный угол:
R (a) ov = R (i- a) R (¦j а) av = R (д a) ovR (- - а) = o'v.
Это означает также, что отражения и вращения не коммутируют друг с|
другом и, следовательно, группа С не является прямым произведением. Но
эта группа изоморфна группе О2 всех двумерных ортогональных матриц,
поскольку в базисе, образованном единичными векторами ех и еу в
горизонтальной плоскости, вращениям соответствуют все ортогональные
матрицы с определителем +1, а отражениям - все ортогональные матрицы с
определителем -1. (Заметим, что соотношение между О 2 и ?Л2 отличается от
соотношения между 03 и ?Л3, так как в последнем случае имеет место прямое
произведение,
J) Такие группы с осями симметрии бесконечного порядка называются также
предельными или группами Пьера Кюри. Полное число таких групп - семь: в
дополнение к пяти перечисленным в в тексте существуют еще две шаровые -
скалярная (с плоскостью симметрии) и псевдоскалярная (без плоскости
симметрии). См. об этом книгу И. С. Желудева, указанную в литературе,
стр. 11.- Прим. ред.
Точечные группы и их применение
209
см. гл. 7, § 4.) Другие группы из упоминавшихся выше просто связаны с
CaV, поскольку С'ООЙ=5?2Х>5а> группа Dx изоморфна группе Cxv, a
Группа
CnV является группой симметрии линейной молекулы без центра симметрии;
если же молекула симметрична относительно средней точки, как в случае
двухатомной молекулы с одинаковыми ядрами, то ее группой симметрии
