Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
терма с заданными значениями S и L, так что матрица, записанная в
связанном LS-базисе, будет диагональной. Вычисление матричных элементов,
как правило, оказывается весьма сложным процессом, который мы ?не будем
рассматривать детально. Существует, однако, ряд общих моментов в такого
рода вычислениях, обусловленных наличием симметрии и находящих простые
объяснения.
Имеется тесная связь между значением полного спина S и симметрией
волновой функции при перестановках как спиновых, так и пространственных
перемепных, выполняемых порознь. В частности, мы видели, что волновые
функции для системы t электронов с максимальным спином 5=1/2i должны быть
полностью симметричными при перестановках спиновых переменных и потому
полностью антисимметричными при перестановках пространственных
переменных. При произвольных значениях S можно получить некую меру
симметрии, если заметить,
Угловой момент, и группа 5?3
245
что для любой пары частиц i и / существует следующее соотношение между
оператором полного спина S(i/)=s =s(i)-f-s(/) и оператором спинового
обмена Р?/, переставляющим спиновые переменные частиц i и у:
S* (*/) = !+/>?,. '8.42)
Действительно, в полном наборе Четырех спиновых состояний двух частиц со
спином 1/2 обе части равенства
(8.42) имеют одинаковую матрицу (задача 8.8). Переходя далее к
системе t электронов и суммируя левую часть равенства (8.42) по всем
парам частиц, получаем
2 [s (О + S (У)]2 = 3 [S2 (о + s2 (/)] + 2 S S (0 • s (/).
*</ * </, * <;/
тогда как для квадрата полного спина имеем
S3 = fSs(0y = Ssz(0 + 2 S*(0-s(7).
I i / * г < /
Объединив последние два соотношения с (8.42), получим
S*= 5 Pf,+Ss2 (i)Tl] [l-s*(0-**(/)]=.
i < I i i < i
= E (8-43)
i < /
если учтем, что s2(i)^3/4 для любой частицы с s=aVa. Оператор Ms--=a
есть искомая прямая мера перестано-
;</.
вочной симметрии, поскольку каждая симметричная пара дает собственное
значение -Ь1, а антисимметричная - собственное значение -1. Из равенства
(8.43) видна связь между оператором Ms и полным спином S. В частности,
состояния с максимальным спином S^i^t одновременно являются собственными
функциями оператора Ms, соответствующими собственным значениям ,}/2t(t-
1), чем подтверждается полная симметрия всех пар спинов. Для состояний с
"S'=1/a при t=3 формула (8.43) дает, что.М9 имеет нулевое собственное
значение, "так что состояние смешанной симметрии Т(и) для трех частиц
содержит симметричные и антисимметричные пары в одинаковой пропорции.
Вообще говоря, из формулы (8.43) явствует, что при уменьшении S
уменьшается и собственное зна-
246
Глава 8
чение оператора Ms, т. е. постепенно снижается число симметричных пар
спинов.
По определению любая полностью антисимметричная волновая функция ? должна
удовлетворять соотношению P,j4f=-?, где Ри - оператор перестановки всех
переменных для частиц i и /. Однако ? где
РIj - оператор перестановки только пространственных координат, так что
P;;4f=-Pfy^F. Поэтому на классе антисимметричных волновых функций мы
всегда имеем точное соотношение Р;/=-Р?/• Определив далее оператор Мг= 2
Рц> имеем Мг=-М5, откуда [с учетом t<i
соотношения (8.43) находим
<aLS | Мг | aLSy = t- S (S +1). (8.44)
При фиксированном числе t электронов уменьшение полного спина S означает
увеличение Мг и, стало быть, возрастание числа пар частиц, симметричных
по отношению к перестановке их пространственных координат. При
максимальном значении спина S-1/^ величина Мг, согласно формуле (8.44),
равна -1/it(t-1), что соответствует полной антисимметрии по
пространственным координатам для всех пар частиц.
Вернемся теперь к уровням энергии атомов и рассмотрим следствия,
вытекающие из связи между спином и перестановочной симметрией. Поскольку
упорядочение термов определяется отталкиванием между электронами,
основным состоянием будет то, в котором отталкивание минимально. Как
правило, отталкивание минимально при минимальной симметрии электронов
относительно перестановок пространственных координат. Согласно формуле
(8.44), это соответствует максимальному значению спина S=1/2t, когда все
пары частиц антисимметричны по координатам. Поэтому основное состояние
должно соответствовать максимальному спину S=1/2t, а энергии при других
значениях S должны возрастать с уменьшением S. Этот вывод интересен тем,
что он относится к спину, хотя возмущение Hi от спина не зависит. Это
объясняется тем, что значениями S определяется спиновая симметрия,
которой через условие полной антисимметрии волновой функции определяется
координатная симметрия системы электронов.
Угловой момент, и группа 3j2
247
Значение l/2Z максимального спина системы t валентных электронов с
одинаковыми квантовыми числами nl требует модификации при заполнении
оболочки более чем наполовину. В оболочке может находиться не более
2(2Z+1) электронов, но лишь половина из них будет иметь значение ms =
Jr1/2. Поэтому значение S = -\-1/2^ может быть достигнуто лишь при
заполнении первой половины оболочки Z^2Z-t-l. При дальнейшем заполнении
