Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Элементами точечных групп являются собственные и несобственные вращения,
т. е. вращения, включающие и не включающие инверсию. Начало координат
остается фиксированным относительно всех преобразований - элементов
точечной группы; иными словами, все оси вращения и плоскости отражений
содержат начало координат. Если поворот на угол а является элементом
точечной группы, то и любая конечная целая степень его также является
элементом группы; какая-либо степень его должна быть равной единичному
оператору Е, поскольку точечная группа конечна. Следовательно, можно
написать [R (a)]n=R (na)=E=R (2ятп), так что угол а должен иметь вид
2itmln, где тип - целые числа. Если для данной оси симметрии наименьший
угол поворота равен 2я/n, то ось называется осью симметрии n-го порядка.
Поворот на угол 2я/n, согласно Шенфлису, обозначается через С".
Ось симметрии максимального порядка обычно считают вертикальной; тогда
перпендикулярная плоскость, естественно, оказывается горизонтальной.
Отражение в горизонтальной плоскости обозначается через ah, а в
вертикальной - через о0. Произведение поворота С" на отражение а в
плоскости, перпендикулярной оси вращения Сп, называется зеркальным
поворотом и обозначается через Sn. Зеркальный поворот можно выразить
через инверсию I и собственное вращение, поскольку произведение оС2
эквивалентно инверсии всех осей, т. е. оС2=1, так что а-1С2, и поэтому
S п - аСп= 1С2С".
Теперь мы можем строить точечные группы, начав с простейших и добавляя к
ним элементы симметрии. Добавление одного нового элемента симметрии к
существующей группе приводит к появлению других элементов. Из простых
геометрических соображений можно сформулировать следующие правила:
1) при добавлении операции инверсии (коммутирующей со всеми остальными
элементами группы) полное число элементов группы удваивается;
Точечные группы и их применение
251
2) при добавлении горизонтальной оси 2-го порядка к вертикальной оси n-го
порядка появляются п-1 других горизонтальных осей 2-го порядка;
3) при добавлении вертикальной плоскости симметрии av к вертикальной оси
n-го порядка появляются п-1 других вертикальных плоскостей симметрии.
§ 2. СТЕРЕОПРОЕКЦИЯ
'Для описания симметрии точечной группы вращений можно взять сферу с
центром в начале координат, выбрать на ее поверхности произвольную точку
и затем отмечать все положения, которые она будет занимать в результате
операций вращений группы. Чтобы представить результаты в двух измерениях,
отмеченные точки следует отобразить на плоскости следующим образом.
Всякая точка "северной" полусферы проектируется на экваториальную
плоскость прямой линией, проходящей через "южный" полюс; эта проекция
отмечается крестиком. Всякая точка "южной" полусферы проектируется на
экваториальную плоскость прямой, проходящей через "северный" полюс; эта
проекция отмечается кружком. Такой способ отображения характеризуется
тем, что точки, лежащие на окружности в одной из полусфер, отображаются в
окружность на плоскости, но центры этих окружностей не отображаются друг
в друга. Ряд подобных стереопроекций показан на рис. 9.1. На них
использованы следующие обозначения. Оси вращения помечены значками,
обладающими симметрией re-го порядка: темными эллипсами, треугольниками,
квадратами и шестиугольниками обозначены оси С2, С3, С4 и Св, а светлыми
- оси S3, S3, S4 и Se. Плоскости отражения обозначаются сплошными
линиями, а другие линии построения и оси вращения - пунктирными. Такой
способ представления особенно удобен в случае простейших групп,
обладающих лишь одной осью симметрии п-то порядка g тО>2. Другие группы
удобнее представлять себе как группы операций симметрии правильных
многогранников (например, тетраэдра и куба).
Точечные группы и их применение
253
§ 3. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
В этом параграфе мы ограничимся тем, что опишем геометрически операции
каждой группы. Для полного изучения какой-либо конкретной группы читателю
следует обратиться к стереопроекции на рис. 9.1 и определить
геометрически произведение любой пары операций группы, построив таким
образом таблицу произведений. В § 4 мы остановимся на разбиении элементов
по классам. Рассмотрим прежде всею группы, содержащие лишь собственные
вращения.
А. Собственные группы Группы Сп
: Простейшие точечные группы, которые мы можем построить, обладают одной
осью симметрии n-го порядка для собственных вращений. Эти группы являются
абелевыми порядка п, поскольку вращения вокруг одной оси коммутируют друг
с другом. Они являются также циклическими, так как образованы одним
^элементом Сп и его степенями Q, Q, . . ., Q=;E.
Группы яаэдра 1>п
Единственный способ, которым можно добавить еще одну ось симметрии к
группе Сп без того, чтобы образовались новые оси симметрии порядка п (в
дополнение к имеющейся оси С"), состоит в добавлении горизонтальной оси
второго порядка. Согласно правилу 2 из § 1, это приводит к появлению п-1
других горизонтальных осей второго порядка. Группу D2, имеющую в точности
