Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
тв
то можно доказать, что —*¦ одинаково для оооих родов элек-
Из уравнения (80.1) мы можем вывести величину электромагнитного тензора, как и в пп. 76, 77; однако, в этом случае Ev'4 не будет выражено в тех же единицах, что и полный тензор энергии 1
Gv----2~9р. > так как масса, фигурирующая в (80.1), есть те, а не тд.
Следовательно, закон (77.6) для пустого пространства должен быть переписан в виде
Мы можем проверить это уравнение, во-первых, для движения положительного электрона и, во-вторых, для движения электрона
(80.72)
т.
тронов.
*) Положительным электроном здесь назван протон (не позитрон!), отрицательным же обычный электрон отрицательного заряда. (Р.)
36 4
Электричество
отрицательного. Очевидно, в обоих случаях мы получили бы
mO
несовместные уравнения, если только для положительного
электрона не имело бы того же значения, что и для отрицательного. Если это условие равенства не будет выполнено, мы сможем нарушить законы сохранения энергии и количества движения, так как возможно сначала перевести кинетическую энергию отрицательного электрона в свободную электромагнитную энергию, а эту последнюю затем превратить в кинетическую энергию положительного электрона.
Следовательно, есть мировая постоянная, и ее можно поло-
те
жить равной единице в уравнении (80.1), если мы надлежащим образом выберем единицы для Fijv.
81. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ОБЪЕМ.
Если Oi4 есть некоторый тензор, то его детерминант j | можно преобразовать по закону (48,8)
I а \ =J2\ a' I
I IiV I I (IV и
откуда следует, как и в (49,3), что
будет инвариантом для любой четырехмериой области. Мы уже разбирали случай и^ = </,о, и естественно рассмотреть теперь случай a=Fiiv. Так как тензор д определяет нам метрику пространства-времени, а соответствующий ннвариант давал метрический объем (естественный объем) области, то представляется естественным назвать соответствующий инвариант Ve электромагнитным обЪемом области
Аналогия с метрическим объемом будет чисто-аналитическая.. Так как j j есть симметричный детерминат четного порядка, то он является полным квадратом, и подинтегральное выражение
(81.2)
82. Электромагнитный объем
365
в (X! .2) есть рациональная функция от F . Инвариант Ve приводится сразу к виду
Любопытно отметить, что скалярное произведение электрической и магнитной сил играет столь малую роль в классической теории, тогда как выражение (81.32), казалось бы, является основным инвариантом поля. Кроме факта его исчезновения в случае распространения электромагнитных волн в пространстве, свободном от связанного электрического поля (т. е. на большом удалении от электронов), этот инвариант не имеет других особых свойств. Может быть при более детальном изучении строения электрона окажется, что он имеет большее значение.
Из (81.31) получаем:
где суммирование распространено на все перестановки значков, что равняется
Поэтому инвариант Ve сводится к поверхностному интегралу по краю области и исследовать его вариации по методу Гамильтона не имеет смысла. Электромагнитный объем области ведет себя аналогично потоку сквозь трехмерную границу этой области.
Для макроскопической трактовки нужно рассмотреть распределение и движение электронов в среднем; соответствующее непрерывное распределение средних значений будет задаваться двум;: новыми величинами:
электрическим смещением Р, Q1 R и магнитной индукцией а,
добавляемыми к электрической силе X, У, Z и магнитной силе
Ve — /(*23 *14 *31 + fSl) dxI
пли в галилеевых координатах
Fe = f(aX-\-?Y-\-TZ)d*.
(81.32)
82. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
366
Электричество
а, р, Группируя эти величины креет-накреет, мы получим два основные электромагнитные тензора:
= 0 - — с Ь -X, Fltv = O — Y P P
с 0 — а -F Y1 0 — а Q
— ъ а 0 — Z я 0 R
X Y Z 0 — P -Q -R 0
Теперь Hr' играет ту же роль, что прежде играло F^, по оно
уже не может быть получено из F простым поднятием знач.
ков. Соотношение между двумя тензорами дается уравнениями
состояния вещества; в простейших случаях оно определяется
двумя константами: диэлектрической постоянной у. и магнитной
проницаемостью jj..
Уравнения (73.73) и (73.74) заменяются следующими обычными
уравнениями классической теории:
dt. ду.
F =_____t -____1
<9.г dxv (82.2)
=Jtt
V
дЯ дв
Заметим, что теперь равно а, но не a. Ii простейшем
случае уравнения состояния будут иметь вид:
(P) Qi R) = x{X, ?, Z); (а, Ь, с) = <,(«, р, т), (82.3)
так что
дч, т 2,. . . ,Я» = — (F11, F**,... ,#**); ди, Д24; #34 = х (ju JfM Fii). Iх
Эти упрощенные уравнения уже не будут тензорными уравнениями и будут иметь место только в той координатной системе, по
отношению к которой материя покоится. Для общих координат уравнения состояния должны иметь вид:
ir =Л%,
где //' — тензор.
Закон сохранения электрического заряда может быть выведен из уравнения = совершенно аналогично, как в (73.76).
Макроскопический метод вводится преимущественно ради практических целей, а не как расширение теории. Поэтому мы не будем развивать его здесь дальше. Для более подробного н общего рассмотрения макроскопических уравнений электромаг-
