Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Геометрия мира
Далее, на основании (85.1) имеем
-Zttei = d Ig I' = d Ig (X I) = d Ig l-\-d Ig X
= х dx -j—dx ; v- * 1 дх Iі’
и-
(85.51)
(85.52)
Вихрь вектора \ обладает важным свойством; именно, если положить
то, на основании (85.52), мы видим, что
F = F
F-'' Я'1 1
так что F не зависит от системы масштабов. Эт0 имеет места только для ковариантного тензора F ; если же мы перенесем один илн оба значка наверх, то в формулы преобразования придется опять ввести функцию X согласно (85.43).
Мы видим, что геометрия континуума зависит теперь от 14 функций, меняющихся от точки к точке, именно: от десяти величин и четырех величин X . Эти функции можио подвергать рассмотренным только-что преобразованиям калибровки и преобразованиям координат, рассмотренным в главе II. Подобные преобразования не изменяют внутренних свойств мира, но какие-либо изменения величин д и Xji, не сводящиеся к преобразованиям калибровки или координат, обусловливают изменения внутреннего состояния мира. Поэтому следует ожидать, что последние изменения скажутся также и на физических проявлениях мира.
Теперь возникает вопрос, в чем заключаются физические проявления, связанные с изменениями х^? Все явления механики Зависят от д так что можно предположить, что рассматриваемые изменения обнаружатся ие в механике или, по крайней мере, что первичный эффект не является механическим. С другой сто-
<35. Преобразование калибровки
379
роны, мы уже знаем, что явления электромагнетизма не могут быть выражены в зависимости только от ^ ; поэтому напрашивается предположение, ЧТО изменения X^ проявляются физически в изменениях электромагнитного поля.
Мы видели, что электромагнитное поле описывается некоторым вектором, тоже обозначенным нами через х , и почти очевидной представляется попытка отождествить его с вектором Xiij введенным в геометрию Вейля. На основании данных опыта физическое состояние мира не определяется полностью величинами д , а является необходимым ввести дополнительно некоторый вектор. На основании нашей теоретической геометрии природа континуума так же не вполне определена величинами д и здесь тоже необходимо ввести добавочный вектор. Вряд ли возможно избежать вывода, что эти два вектора должны быть тождественны.
Более того, мы можем согласно (85.52) изменением масштаба
, да
заменить Xji иа Xji—, не изменяя при этом состояния мира.
и-
С другой стороны, в начале п. 74 мы выяснили, что то же самое изменение ВОЗМОЖНО произвести в отношении электромагнитного потенциала, не изменяя ири этом электромагнитного поля.
По изложенным основаниям мы действительно произведем указанное отождествление. Величины Xji и F нашей геометрической теории суть не что иное, как электромагнитные потенциал и сила главы VI. Далее для наших нынешних целей удобнее устранить нормирующее условие •/.? = 0 (74.1), так как этим мы преждевременно ограничились бы некоторой частной системой масштабов.
Необходимо принять во внимание, что в результате такого отождествления электромагнитные силы оказываются, выраженными в некоторых естественных единицах, отношение которых к системе CGS пока не известно. Например, мы можем изменять коэффициент пропорциональности в (77.7), величина же F^ не изменяется при любом изменении системы масштабов
(85.6), так что ее значение есть отвлеченное число. Поэтому возникает вопрос, скольким вольтам на сантиметр соответствует значение F =1 в заданной системе координат. Эта проблема
3S0
Геометрия мира
довольно трудна, однако в п. 102 мы даднм некоторую, хотя грубую и довольно сомнительную, оценку.
Я не думаю, что наше дальнейшее исследование прибавит что-либо существенное к соображениям, говорящим в пользу электромагнитного истолкования величины Все покоится полностью на том, несомненно весьма важном обстоятельстве, что, уничтожая одно искусственное ограничение, имеющееся в римаи-новой геометрии, мы получаем как раз правильное число переменных, необходимых для физического описания мира.
86. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО КАЛИБРОВКИ.
В дальнейшем полезно будет узнать те тензоры и инварианты, которые, обладая известными уже нам характерными свойствами в отношении преобразований координат, не изменяются при любых преобразованиях системы масштабов. Мы будем называть их ин-тензорами и пп-инвариантами.
Существуют и другие тензоры и инварианты, которые при изменении калибровки умножаются на какую-либо степень величины X. Мы их назовем ко-тензорами и ко-инвариантами. Изменение масштаба является обобщением изменения единиц в физических уравнениях, причем здесь единица перестает быть постоянной величиной и становится произвольной функцией положения. Нам придется иметь дело только с одной единицей — единицей интервала. Координаты не имеют никакого отношения к нашей единице, так как это просто числа, устанавливающие совпадение событий, и поэтому dx есть ин-вектор. Заметим, что если мы меняем единичную клетку прямоугольной координатной системы, изменяя ее длпиу от мили до километра, то этим мы преобразуем координаты, а не масштаб. Различие будет яснее в случае не-декартовых координат. В случае галилеевых координат особенно легко смешать эти преобразования, так как в этом частно^ случае значения g таковы, что длина стороны единичной клетки равна единице интервала; поэтому не так-то легко представить себе, что расстояние между двумя узлами координатной сетки есть число, равное единице, в то время как интервал между ними равен 1 км.
