Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
В главе IX книги «Пространство, время и тяготение» не-риман-иова геометрия Вейля все время рассматривалась как улучшенная и теперь уж точная естественная геометрия. В этом заключалась также первоначальная цель теории Вейля *).
Поэтому сначала мы будем ее развивать именно в этом понимании. Ho в конце концов мы, как и сам Вейль, придем ко второй возможности и увидим, что его не риманнову геометрию не следует применять к действительному пространству-времени. Оиа скорее относится к графическому представлению того комплекса
*) Первая работа Beiiля (Berliner Sitzungsberichte, 30 мая 1918 г.) в этом отношении довольно неясна. Она содержит математическое изложение улучшенной рпманновой геометрии, «физическое применение очевидно». Однако дальше в явной форме утверждается, что отсутствие электромагнитных нолей есть необходимое условие применимости теории Эйнштейна, мнение, которого, как я думаю, сейчас уже нельзя придерживаться.
84. Неинтегрируема* длина
373
соотношений, который лежит в основе всей физики, и в котором проявляется взаимная связь между электромагнитными и метрическими переменными. Став на эту точку зрения, мы естественно переходим к более общей геометрии комплекса соотношений, изложенной во второй части этой главы.
При этом необходимо различать между естественной геометрией, являющейся единственной истинной геометрией в том смысле, какой этому слову придает физик, и геометрией мира, т. е. чистой геометрией, относящейся к мысленному графическому представлению всех физических величин. Может быть, мы могли бы пойти еще дальше и утверждать, что мировая геометрия стремится дать сжатое описание фундаментального комплекса соотношений, лежащего в основе различных проявлениЗ пространства, времени, материи и электромагнетизма. Однако, такое уїверждение оказывается слишком расплывчатым, когда мы пытаемся начать его анализировать. Так как графическое представление во всяком случае условно, то мы не можем сказать, что какой-либо один метод правильнее другого. Поэтому две геометрии, изложенные в первой и второй части этой главы, нельзя считать противоречащими друг другу. Я ввожу вторую геометрию исключительно по той причине, что считаю ее более наглядной и более широкой, но ни в коем случае не потому, что считаю изложение с помощью первой геометрии недопустимым.
В последующем обзоре теории Вейля я не придерживаюсь данного ее автором порядка изложения, а исхожу из принятой здесь точки зрения, несколько (хотя, надеюсь, и несущественно) отличающийся от первоиачальной. Может быть, и не совсем честно излагать теорию с другого — по крайней мере, с точки зрения ее автора — конца; но я уверен, что мое изложение не уменьшит блеска этой работы, представляющей собой, иесомненно, наибольшее достижение теории относительности со времени работ Эйнштейна.
8V. НЕИНТЕГРИРУЕМАЯ ДЛИНА.
Мы нашли в п. 33, что изменение 8.4 вектора при параллельном переносе вдоль малого замкнутого контура равно
'4 ==,-1(/1 '~л =1T if Ad8,3 = }TB AV-Svj. (84.1)
а 2 Iiv5f -J) uvj s p.v35 4 -
374
Геометрия мира
Отсюда следует, что
AV-о A =Lb Av-AtCiS'" = О,
Л [L О JXVee 7
так как В антисимметрично относительно и и г.
JiVJB і *
Следовательно, на основании (26.4) S А перпендикулярно к A^, и длина вектора A^ ие изменяется при его параллельном переносе вдоль контура; изменяется же только направление.
На примере корабля, плывущего по искривленной поверхности океана (п. 33), мы пытались наглядно объяснить, как в искривленном мире может получиться это изменение направления. Убедившись в том, что нет ничего логически невозможного в изменении направления, мы теперь вполне можем допустить непротиворечивость предположения о том, что и длина тоже может меняться; правда, мы только-что привели доказательство, что длина не меняется, но это означает лишь, что изменение длины исключено какими-то условиями, которые мы, может быть по недосмотру, ввели в постулаты риманновой геометрии. В самом деле, мы можем сконструировать геометрию, в которой имеет место изменение длины, не впадая при этом в противоречие.
В этой более общей геометрии мы имеем вместо (84.1)
(8421>
где *В есгь более общий тензор, уже не антисимметричный относительно (а и s. Он будет, однако, антисимметричен относительно V и з} так как симметричная часть его не имеет значения в (84.21) в силу антисимметрии dSи-
Полагая
П =Li*b -fB ),
u-vas ' jjLvas evsjiy*
I
2
С в и-*.? ),
' U.V3S і ?\>:уУ>
где, следовательно, R антисимметрично, a F симметрично относительно [J. и є, мы получим
ZA i = L (д_ _j_ ^ j AedS‘\ (84.22)
84. Неянтегрируемая длина
375
Тогда изменение длииы I вектора определяется из формули
н, вообще говоря, не равно нулю.
Чтобы получить геометрию Вейля, мы должны наложить на F два ограничения:
(Ь) Fvj есть вихрь некоторого вектора.
Второе ограничение логически необходимо. Мы выразили изменение вектора вдоль контура формулой, содержащей площадь, ограниченную контуром. Мы можем одиако выбирать различные поверхности, ограниченные одним и тем же контуром, и всегда должны получить одну и ту же величину 8А . Легко убедиться на
