Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
V
дЯГ
sr = -* •
Равное и противоположное изменение количества движения и энергии электромагнитного поля соответственно будет дано
ч дЕI а
величиной = пг . Эти уравнения применимы к галилеевым
V
или естественным координатам. Мы перейдем в общим координатам, вводя коварнантные производные, и получим следующие тензорные уравнения:
== -JS^, (76.4)
которые уже независимы от координатной системы. Соответственно имеем
= (JHfitv -f Ef')v =0.
Рассмотрим теперь заряд, движущийся со скоростью (и, ю, to).. Мы получим по (75 . 4)
РХ' = рХ — (рw) р + (ру)т == рХ — р -f *у T = Р.
Мы пренебрегли при этом квадратом скорости и в этом приближении р' = р. Поэтому, с точностью до второго порядка в скорости, механическая сила, действующая на движущийся заряд, будет равна (pX', рY', рZ') так же, как для покоящегося заряда она равнялась (рХ, рГ, рZ). Силу, действующую на движущийся заряд, мы получаем, либо применяя формулу (76.1) к первоначальным координатам, либо переходя к новым координатам, в которых заряд находится в покое, так что аг = 0. Эквивалентность
77. Электромагнитный тензор энергии
347
вбоих способов вычисления находится в согласии с принципом относительности для равномерных движений.
Если не пренебрегать квадратом скорости, то мы вовсе не получим такого простого соотношения. Механическая сила (массаХ ускорение) не будет одинакова в штрихованных и нештрихованных системах, так как масса и ускорение изменятся прибавлением членов, содержащих квадраты скорости. В самом деле, мы и не можем ожидать какого-нибудь простого соотношения между механической (Р, О, R) и электрической (X, F, Z) силами в различных координатных системах, так как первая является ведь частью вектора (именно — ), а вторая частью тензора второго ранга.
Можно было бы пожалуй ожидать, что с появлением электронной теории вещества будет излишним вводить особый материальный тензор энергии , и что полные энергия и количество движения войдут В тензор энергии электромагнитного поля. Однако, мы не можем обойтись без . Дело заключается в том, что электрон нельзя рассматривать как чисто электромаг нитное явление; иначе говоря, в его строении есть нечто, не описываемое максвелловой теорией электромагнитного поля. Для того чтобы воспрепятствовать заряду электрона распасться под влиянием собственных сил отталкивания, необходимо ввести немакс-велловы силы сцепления. Энергия напряжения и количество движения этих сил и составляют материальный тензор энергии.
Разложение тензора на материальную и электромагнитную части можно понимать еще несколько иначе, как будет указано в конце п. 82.
77. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ
Для того чтобы определить явно значения Ev мы вер-немея к следующему соотношению предыдущего параграфа:
E4 = h = F Jt=F Fvs- (77.1)
(AV JA {xv [XV а V /
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
Для проверки правильности этого решения образуем его расходимость, помня, что ковариантное дифференцирование иодчи-
¦її 8 Электричество
няется обыкновенному закону дистрибутивности и что д^ —постоянные.
& = _ j?* F — F" F , +Lg' /Гр F44- Г3 F ),
JA ч V JXO [A*V Д {А \ 1 О? I Ct^V
или по (26.3)
= — Fm F-FmF + 4- Ч F в
V [ACt P-OV 2 И" aPv
а отсюда, после изменения немых значков,
- - к - 4-% -4- ^ +4-v
илн, наконец, в виду антисимметрии F1'' = Fa F -
(J.OC
Легко проверить, что
r fU +-rrl(F,.f + V + F.e,).
dF <№ dFr
у і p і p ________і______________j_______________»3_______a
(i?9 "I Pu-o I ot[3jj- r) <r і- /Чл. T- An- '
pi P110 I apH. d%a~' dx dx
V-
на основании (30.3) и (73.71); члены, содержащий трехзначковые символы, взаимно уничтожаются.
Отсюда в согласии с (77.1)
E4 = F*w F =JaF .
[AV V JAO
Интересно определить составляющие тензора энергии (77.2) в галилеевых координатах, пользуясь (73.41) и (73.42).
Мы получаем
F’? F3 = 2 (а* + PM- T2 - X* - I72 - Za). (77.3)
К = 4" (*2 - P2 - Ї2) -Ь X (*2 - I'2 - П (77.41)
E21 = аЗ -j- XF. (77.42)
?' = pZ— ~{Y. (77.43)
< = 4 ^a2 + P2 + T2) + X(Х2 + F2 + Z2)- (77-44)
Последнее выражение дает энергию или массу электромагнитного доля; третья формула дает количество движения, обе же первые формулы выражают напряжения поля. Во всех случаях результат согласуется с классической теорией.
Количество движения, выражающее скорость передвижения
77. Электромагнитный тензор энергии
319
массы, является также и выражением скорости течения энергии. С этой, второй, точки зрения оно часто называется вектором Пойнтинга. Из (77.43) видно, что количество движения по терминологии элементарной теории векторов представляет собой векторное произведение электрической и магнитной сил.
Из Ev мы можем образовать скаляр E, аналогично тому, как Г было ранее получено из Т\ Инвариантная плотность T будет тогда состоять из двух частей, происходящих от электромагнитного поля (JE) и от материи, или не-максвелловых напряжений, заключенных в электроне (M). Однако E тождественно равно нулю, так что электромагнитное поле ничего не прибавляет к инвариантной плотности, которую следует целиком отнести за счет не-максвелловых связывающих напряжений. Из (77.2), сокращая, инеем
