Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
* Iа
основании теоремы Стокса, что это может иметь место только тогда, когда множитель прн dS” есть вихрь некоторого вектора.
Первое же ограничение не является безусловно необходимым, и во второй части этой главы мы его отбросим. Чтобы выяснить его смысл, введем условие (а) в (84.3), тогда получим
Следовательно, изменение длины пропорционально начальной длине и не зависит от направлення вектора, в то время как в более общей формуле (84.3) изменение длины зависило также и от направления.
Одним из результатов этого ограничения яаляется то, что нулевая длина остается нулевой и после параллельного переноса вдоль замкнутого контура. Таким образом, если мы наблюдали нулевую длину в какой-либо точке мнра, мы можем совершенно однозначно переносить ее в любую другую точку и опознать ее там тоже как нулевую длину. Конечные же длииы нельзя переносить однозначно, для них нужно всегда указывать путь, вдоль которого происходил параллельный перенос.
Нулевая длина нмеет большое значение в теории оптических явлений, так как в геометрии Эйнштейна всякий элемент пути светового импульса есть вектор, длина которого равна нулю, так
3 (/2) == 2АЧ A =F
^ ^ uvse
(84.3)
8 (J2) = FKg^?d8w = F 14S™,
так что
(84.4)
376
Геометр пі мира
что если бы не существовало вполне определенной нулевой длииы, световой импульс не знал бы, какой путь ему избрать. Теория Вейля не пытается в этом отношении видоизменить теорию Эйн-штейна, требующую существования абсолютной нулевой длины, и именно поэтому накладывает ограничение (а) на тензор F .
Другой результат этого ограничения заключается в том, что можио однозначно сравнивать между собой длины, относящиеся к одной точке, но различающиеся направлениями. Неоднозначность появляется при сравнении длин, относящихся к различным точкам.
85. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАЛИБРОВКИ.
На основании предшествующего параграфа сравнение длии, относящихся к различным точкам, невозможно (за исключением нулевой длины), так как результат сравнения будет зависеть от пути, по которому эти длины приведены к совпадению.
В риманновой геометрии мы считали, что возможность сравнения длин не подлежит сомнению. Каждому интервалу в каждой точке приписывалось определенное значение, именно: результат сравнения со стандартным масштабом, и мы ничуть ие беспокоились о том, каким образом могло бы быть выполнено эт° сравнение для двух, находящихся на некотором расстоянии друг от друга интервалов. Мы должны теперь построить геометрию континуума так, чтобы эта трудность нашла себе явное выражение.
Предположим, что принята некоторая определенная, хотя н произвольная система масштабов*); иначе говоря, пусть в каждой точке пространства-времени установлена некоторая стандартная длина интервала, и каждый интервал измеряется посредством стандарта, находящегося в той же точке. Это позволяет избежать неоднозначности, связанной с перенесением интервалов от одной точки к другой для сравнения с единственным стандартом.
Рассмотрим некоторый отрезок в точке P (с координатами «яареиесем его посредством параллельного переноса в бесконечно близкую точку P (с координатами х ~^~dx ). Пусть его начальная длина, измеренная посредством масштаба, относящегося к точке Р>
") Или «система калибровки», как мы ее будем еще называть.
85. Преобразование калибровки
377
есть I, а конечная длина, измеренная масштабом Р, есть l-\-dl. Мы можем выразить изменение длины формулой
rfOgO = 5VrfV ^85'1)
где X означает некоторое векторное поле. Если мы изменим систему масштабов, то мы, конечно, получим другие значения I-а следовательно и х .
Для малых расстояний от P до P' можно и не указывать мути перемещения. Действительно, согласно (84.4) разность результатов, соответствующих различным путям, пропорциональна площади, ограниченной этими путями, и поэтому есть величина второго порядка относительно dx. Поэтому при бесконечно малом PP неоднозначность становится неизмеримо малой по сравнению с выражением первого порядка.
Нашу систему отсчета возможно теперь изменять в двух направлениях — изменением координат и изменением масштабов* Поведение величин ди Xji при преобразованиях координат было подробно изучено в п. 23. Нам остается рассмотреть вопрос о том, как они будут преобразовываться при изменении масштабов.
Мы получим новую систему масштабов, если в каждой точке изменим стандартную длину в отношении X, где X— произвольная функция координат. Если стандартная длина уменьшается в отношении X, то длина смещения увеличивается в том же отношении. Мы получим, отмечая штрихом величины, относящиеся к новой системе,
ds' = X ds. (85.2 )
Составляющие dx смещения ие изменяются, так как мы же изменяли системы координат, поэтому
dx' ^ = dx . (85.3)
Следовательно,
q' dx' dx' = ds'~2 = X2 ds1 = X2 д dx dx = X2O dx' dx’ ,
V JAM JA V ^ JAV (A V ^ (AV jA Vу
так что
Отсюда сразу следует
д' =X2O . (85.41)
** (A'» ^jAV 4 '
Sf = W9- (85.42)
g'v ^ \-2gV-\ (85.43)
Y^gr d-'= dz. (85.44)
З 7 S
