Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
F4
3.9. Сила F(I), необходимая для удержания шара на диске, линейно растет с увеличением длины пружины /:
F(Z) = Wouc =пш2\10 +/).
/
Iq = OA. Тангенс угла наклона этой за-висимости к, = та = 20 Н/м.
94 пружины при вращении диска с угловой скоростью со = 100 рад/с определить нельзя.
3.10. Мальчикам нужно оттолкнуться друг от друга и потом с помощью рулетки измерить расстояния S] и S2, которые каждый из них проедет до полной остановки. Из закона сохранения импульса следует, что массы мальчиков будут обратно пропорциональны их начальным скоростям:
Щ v2 т2 V]
Начальные скорости мальчиков в свою очередь связаны с их удалением S от точки отталкивания соотношением:
•S= —.
2а
В направлении движения на каждого из мальчиков действует единственная сила — сила трения скольжения. Поэтому из второго закона Ньютона: та = \xmg, следует, что ускорения мальчиков будут одинаковыми. Следовательно. = "^-2- .
т2 V5I
3.11. Предположим, что человек движется с постоянной скоростью v. Сумма внешних сил, приложенных к системе «лодка — человек» (сила тяжести, сила Архимеда), равна нулю. Можем воспользоваться законом сохранения импульса. Рассмотрим импульс системы до начала движения и в процессе движения в проекциях на ось, направленную вдоль направления движения человека, в системе отсчета, связанной с берегом, и составим уравнение:
0 = m{v -Vn)- Mv т,
WV
где — скорость лодки относительно берега. Vj1 =-. следа + M
довательно, время движения человека и, соответственно, лодки,
L , mL „ ,
( — => л = Уд/=-—. Из последней формулы следует, что
V т+М
95 центр тяжести всей системы остается неподвижным. Это обстоятельство остается справедливым и при сколь угодно малых перемещениях человека относительно лодки, а следовательно, полученный результат справедлив при любом способе перемещения человека относительно лодки, а не только при равномерном движении.
3.12. Так как в горизонтальном направлении на платформу внешние силы не действуют, то полное количество движения в этом направлении остается неизменным, т.е.
v
(m+M)vCH = тvCH cosa +M — =>
/
v
V™ =
т + — M 3
ен
m cos a
3.13. Изменение состояния сталкивающихся тел описывается законами сохранения импульса и энергии:
wjvq = Mv + ти;
mvn Mv2 ти2
-5*- =-+ ,
где VHW — проекции векторов скорости тел массой т и M сразу после столкновения на ось, направленную вертикально вниз.
2v0
Решение этой системы дает v =
т
Кинетическая энергия ~~~ > полученная при столкновении телом, прикрепленным к пружине, расходуется на совершение работы против силы трения \imgh и на работу по сжатию пружины
Ich *" Ich ^
——. Следовательно, —-— = рHgh + ——. Решая это уравнение относительно И, находим
96 h = pMg
1 +
4 kvl
о
-> 2, JM , \i~gzM\ — + 1
-1
/и
3.14. Скорость v , приобретаемую гирей при падении ее с высоты H, можно найти из закона сохранения механической энергии (гиря и Земля — замкнутая система):
mgH =
ту
При абсолютно упругом ударе импульс и механическая энергия системы не меняются, тогда как сами импульсы и энергии гири и чаши весов меняются за счет локальных внутренних упругих сил. Внешние силы (силы тяжести) при локальном взаимодействии не меняют импульсы и энергии гири и чашки, поэтому в момент удара гирю и чашку можно считать замкнутой системой.
Законы сохранения импульса и механической энергии при абсолютно упругом ударе гири о чашку весов имеют соответственно вид
ту =MV + ти; 2
ту
MV'
¦ + ¦
ти
где и — проекция скорости гири, а V — скорости чашки весов сразу после удара на ось, направленную вертикально вниз. Решая систему уравнений, получаем
V =
2у 2y?W
1 +
M
т
1 +
M
т
97 Величину сжатия пружины весов h найдем из закона сохранения полной механической энергии системы «чашка весов— Земля» (эта система замкнута):
mgh
MV- kh'
В этом уравнении mgh — изменение потенциальной энергии
чашки весов при опускании ее на высоту И,
Ml
г 2
— начальная
кинетическая энергия чашки весов,
khz
потенциальная энер-
гия. запасаемая пружиной весов при ее сжатии. Решая получившееся квадратное уравнение относительно h. находим
mg
1+ 1 + -
UHM
g(m +М)
3.15. h -
mg
1 + -
UHM
g(m +МУ
Указание. См. решение задачи 3.14.
3.16. При погружении в жидкость тело совершает работу против силы Архимеда. Примем за начало отсчета потенциальной энергии глубину, на которую погрузится тело. Тогда закон сохранения энергии для системы «тело — Земля» имеет вид
mg(h} +h2) = FAh2 .
Подставляя сюда т = pV и Fa =р0Vg (V— объем тела), нахо-
дим И-, =
Po-P
-Ai-
3.17. h = ^Phv P
Указание. См. решение задачи 3.16.
98 3.18. На соскальзывающее с полусферы тело действуют две силы: сила тяжести mg
и сила реакции опоры N. В момент отрыва
от поверхности N обращается в нуль. В этот момент уравнение движения в проекциях на ось OY имеет вид
ту2 H
А
/ О
mg cos а = mg-
