Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Моду ль силы F(а), которая может обеспечить выполнение условий задачи, является функцией угла а. Зависимость F(а) полу чается при совместном решении первых трех уравнений системы:
F<a) =-^-.
cos а + р sin а
Минимальное значение Fmin достигается при тех углах, при которых знаменатель этого выражения максимален. Решая задачу на экстремум функции /(a) = cos а + psin а , или преобразуя /(а) к
виду /(а) = J + р2 cos(a - ?), где tg? = р , заключаем, что максимум функции /(а) на промежутке ()<а < к/2 приходится на значение amax = ? = arctgp. При этом же значении атах модуль силы F(а) принимает минимальное значение.
Вид зависимостей /(а) и F(а) на промежутке 0<а<л/2 качественно показан на рисунках.
На графике F(а) отложены также два возможных значения утла а-а* и ао. соответствующие двум различным значениям ми-
*
нимальнои силы. В первом случае, т.е. когда Ot1 <атах, вращение
117 катушки, но не ее качение возможно при минимальнои силе
L .... L in V .. М»»* f min * ^ тя\ /
Л*) t
а,
л/2 а
F(a)f
а1атаха2 71/2 а
В другом случае, когда а2 > а max , минимальное значение силы
* г
достигается при угле а = а-> = arccos —. т.е.
R
Fmm =F(Oi2) = -
\mg
г!R + nijl -(г/Rf
Численный расчет дает
4
а) атах = arctgO.85 = 40.4°; а = arccos — = 55°; а max < а
F- =
1 nun
I R + \i^\-{r! Rf
113.4 H;
б) araax =26.6°; а =41.4°; amax <a ; Fmin «9;3 H;
в) «max =40,4°; а =31,8°; amax >а ; Fmin =
V-mg
Vl + P2
13 H;
D ctHiax =35°; а =25,2°; amax >a : Fmin «11,5 H.
118 5. Механические колебания
5.1. В нагруженной. Масса нагруженной машины больше, вследствие этого частота колебаний машины (см. (5.3) и (5.4)), т.е. ее тряска, будет меньше для нагруженной машины по сравнению с пустой.
5.2. Разъезженные дороги обладают определенной периодичностью в расположении ухабов, которая зависит как от скорости прошедших по дороге автомобилей, их массы, так и от собственной частоты колебаний рессор. При езде по таким дорогам ухабы в свою очередь играют роль вынуждающей силы, которая заставляет рессоры автомобиля колебаться в такт их расположению. Раскачивание становится особенно заметным, когда собственная частота рессор автомобиля совпадет с частотой расположения ухабов на
дороге V » —. у — скорость автомобиля. AJ — среднее расстоя-Al
ние между гребнями ухабов
5.3. К одному концу нити некоторой длины / привязать гирьку и. подняв нить с гирькой за другой ее конец, привести груз в движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Измерить время At. за которое будет совершено п полных колебаний
получившегося маятника. Период маятника будет равен T = —. В
п
свою очередь, Т = 2п — , g—ускорение свободного падения. От-
VS
сюда длина нити маятника может быть найдена, как
/=- gA'2
, 2 2 4 пп
Далее с помощью этой нити можно измерить длину, ширину и высоту комнаты и вычислить ее объем. Дробные доли длины можно получать посредством складывания нити вдвое, вчетверо и т.д.
119 Wn=O
5.4. Примем за начало отсчета потенциальной энергии математического маятника уровень, соот-ветствующий его наинизшему положению (см. рисунок). Тогда при угле отклонения а потенциальная энергия маятника будет равна
W11 (а) = mgh = mgl( 1 - cos а).
Кинетическая энергия маятника зависит, как от его угла отклонения от положения равновесия, так и от начального угла отклонения а о. Чтобы найти эту зависимость, воспользуемся законом сохранения энергии, записав выражение для полной механической энергии при двух положениях маятника: одно соответствует углу a, a другое — максимальному углу отклонения а(). Тогда
или
Wn («о) + »"к (<*о) = ^n («) + wK (а), mgl{\ - cos а о) = mgl( 1 - cos а) + Wk (а).
Отсюда Wk (а) = mgl(cosа - cosa0). Графики зависимостей кинетической. потенциальной и полной энергии от угла a показаны на рисунке.
wg/(]-cosa )
IV(OL)=Wk (a)+ Wn (a)=const
5.5. Изменится. Кинетическая энергия маятника, погруженного в воду Wk . как функция угла отклонения а, имеет вид
120 WK =
тх
та1!1
ml
2^2
dt)
Потенциальная энергия погруженного в воду маятника W*1 меньше
потенциальной энергии непогруженного W" на величину работы А. которая совершает выталкивающая сила.
Wnn = W* -A = mgl( 1 - cos а) - pHVgl(\ - cos а),
где /(1-cosa) — изменение высоты маятника в поле сил тяготения и выталкивающей силы. V— объем маятника. рв — плотность воды.
п . a а и .Vgl 2
При малых углах sin — « —, поэтому Wn «(р - рв) a , р —
плотность материала маятника. В соответствии с (5.3) и (5.4) период колебаний маятника можно найти, как отношение соответствующих коэффициентов при обобщенных координатах:
Г = In
I
S
\
I-O P У
т
< 3VWW
M
• о
5.6. Направим ось OX вдоль горизонтальной поверхности (см. рисунок) и пусть начало координат совпадает с положением центра тяжести
тела массой М. Тогда в соответствии с определением (4.4) в случае сжатой пружины центр тяжести системы будет находиться в точке с координатой
