Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ml
„«к _ лц т -
M + т
mirі
а в случае распрямленной пружины в точке х^ = - "' 0
По-
M + т
скольку в процессе колебаний грузов суммарный импульс системы в направлении оси OX остается неизменным (внешние силы
121
си- лы тяжести — перпендикулярны оси ОХ), положение центра тяжести системы относительно горизонтальной поверхности не изменяется Это означает, что относительно горизонтальной поверхности
груз M будет колебаться с амплитудой, равной разности Хц* и
(Z-Z0)W
rPilc TP А - г Pac - гсж - ¦
Л ц J « 1 . W• /1 — Лц »р Лц
M + т
5.7. A = -
т
5.8. А =
M + т ml
-ЛІ2ІИ
т +M
5.9. Рассмотрим случай а).
Пусть угол отклонения маятника от вертикали в произвольный
/ ч гт, du>
момент времени I мал и равен ср (см. рисунок). Тогда ю = — есть
dt
угловая, a v = a>R — линейная скорость в этот же момент времени любой точки маятника, отстоящей от оси вращения на расстояние R. Для шариков, закрепленных на концах стержней.
Ra=Rc =S1-, Rb=I 122 Кинетическая энергия всего маятника в целом в момент времени t равна сумме кинетических энергий, составляющих его шаров.
W 2
vA
ь)
+ vS + vC )= ты1]1 = ml
iI ^ЕУ
{dt
Так как маятник находится в однородном поле сил тяжести, то его потенциальная энергия определяется положением его центра тяжести. При заданном расположении шаров центр тяжести маятника находится на вертикальном стержне на расстоянии 1/6 от
/ I 2.
точки пересечения стержней и на расстоянии — + — = — / от точки
2 6 3
подвеса маятника. Поэтому потенциальная энергия маятника, отсчитываемая от самого нижнего положения центра тяжести, будет равна
-пот
: 3 mgh,
где 3 т — масса маятника, /? = —/ ема центра тяжести (см. рисунок). При малых углах ср
высота подъ-
поэтому ZTnoi = 3mg — I
V о О ( I 'У 1 О
1 - Ф = mglq>~ yjl- ф~ = 1 - — ф"
Так как трение отсутствует, то полная механическая энергия маятника
1IOJIH — ^КИН + ^IIOT ~ m^
rdV2
у dt ,
+ »Jg/ф
со временем не изменяется, т.е.
dE
ПОЛИ
dt
¦ О . Дифференцируя
а
Fiiojih по времени, получаем ф" + — ф = О. Это уравнение совпада-
123 сг с уравнением гармонических колебаний (5.3), для которого час-
2 Я ЇЇ
тога колебаний со = —. Отсюда T = 2л — »2 с.
/ ]g
Рассмотрим еше один вариант решения. Известен период колебаний математического маятника T = 2п — . где /м — длина
V 8
подвеса математического маятника.
Подберем длину подвеса такой, чтобы период колебаний математического маятника и предложенной системы совпали (при равенстве масс).
Проведем мысленный эксперимент: отклоним оба маятника на один и тот же угол а от вертикали и отпустим без толчка. Если в дальнейшем при произвольном угле отклонения р от положения равновесия угловые скорости маятников совпадают, то можно утверждать. что и периоды их колебаний совпадают, так как они. колеблются синхронно. Воспользуемся законом сохранения механической энергии для математического маятника
3/жо2/2
3inglM (1 - cos а) = 3inglм (1 - cos ?) +-—
и для предложенной системы
V2 VI
mgl(l - cos а) + mg—/[l - cos(a + 45°)]+ mg—/[і - cos(a - 45°)]=
4Ї J2
= mgl\i - cos ?) + mg ~-l[1 - cos(? + 45°)] + mg /[l - cos(? - 45°)]
і
2,2 _2 (ft ^2
тез I „ «703 +-+ 2 —
-I 2
124 Проведем соответствующие преобразования приведенных выражений и получим систему уравнений:
b(cos?-cosa) = a)2 /M; =/ ^ т = = ЇЇ
12g(cos ? - cos a) = w ¦ / ]g \g
6) T = 2n — — «2.4 c. \2g
в) T = 2n--* 2.15 c.
¦jLL.u
ytg
r) T = 27t /—— « 3.14 c. ]2g ¦
5.10. Пусть поршень сместится вправо относительно равновесного положения на х. Тогда давление газа в левой (рг) и правой (р2) частях сосуда можно найти из уравнений состояния газа в этих частях:
px(V + xS) = vRT,
p2(V -xS) = vRT .
Силы, с которыми газ будет действовать на поршень, соответственно равны: слева— Fj = p\S, справа— F2 = p2S . Справа на поршень будет действовать также и упругая сила Fyn = кх. Основное уравнение динамики для поршня имеет вид
та = p\S - p2S - кх.
Подставляя сюда р\ и р2 из уравнений состояний газа и делая несложные преобразования, полу чаем
та = -X
IvRTS2 V2
+ к
125 При выводе этого соотношения ввиду малости колебаний поршня
О
полагалось, что V" - (xS)~ « V . Так как а = х, то
.. IvRTS1+W1 X +---х = 0.
mV1
В соответствии с (5.2) и (5.4) это есть уравнение гармонических колебаний, период которых
Г = — = 271
са
2W?7S2 + ?F2
5.11. Г = 2тг
mV V1V2
\ S1RTivx +V1Y
5.12. T = 27t
mV 1T1T2
vRS1 (T1 -T2XT1 +T2)1 '
5.13. 7' = 27t
VRT(P2JiP1)
І Ss\p} + pi)
126 6. Механика жидкостей и газов
6.1. Природа давления, оказываемого на окружающие тела жидкостями и газами, различна. Для жидкостей существенны межмолекулярные взаимодействия, вследствие чего они имеют определенный объем и. заполняя сосуды, могут тем самым производить в поле тяготения гидростатическое давление. Величина его пропорциональна высоте столба жидкости, равной глубине погружения. На использовании давления столба жидкости и основана работа водонапорных башень.
